Đề bài
Cho tam giác\[ABC.\]Các tia phân giác các góc\[A\]và\[C\]cắt nhau ở\[I.\]Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh\[A\]và\[C\]cắt nhau ở\[K.\]Chứng minh rằng ba điểm\[B, I, K\]thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Tính chất đường phân giác của góc: Các điểm nằm trên đường phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó.
+] Điểm cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Lời giải chi tiết
Kẻ \[IH \bot AB,IJ \bot BC,IG \bot AC\],
\[KD \bot AB,KE \bot AC,KF \bot BC\]
Vì \[I\]nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]
\[ \Rightarrow IH = IG \] [tính chất tia phân giác]
Vì \[I\]nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BCA}\]
\[ \Rightarrow IG = IJ\] [tính chất tia phân giác]
Suy ra:\[IH = IJ\]
Nên\[I\]nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ABC}\] [1]
Vì \[K\]nằm trên tia phân giác của \[\widehat {DAC}\]
\[ \Rightarrow KD = KE\][tính chất tia phân giác]
Vì \[K\]nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ACF}\]
\[ \Rightarrow KE = KF\] [tính chất tia phân giác]
Suy ra:\[KD = KF \Rightarrow K\] nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ABC}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:\[B, I, K\]thẳng hàng.