- Bài 5.1
- Bài 5.2
Bài 5.1
Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng \[26\]. Khi tổng số tuổi của chúng tôi gấp \[5\] lần tuổi của tôi hiện nay thì tuổi của tôi khi đó sẽ gấp \[3\] lần tuổi của em tôi hiện nay. Hãy tính tuổi hiện nay của mỗi người chúng tôi.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước 1:Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2:Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3:Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi tuổi của tôi hiện nay là \[x\] [tuổi], điều kiện: \[x \in {\mathbb{N}^*}\]
Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng \[26\] nêntuổi của em tôi hiện nay là \[26 x\] [tuổi]
Giả sử số năm phải thêm là \[y\] [năm] [điều kiện:\[y \in {\mathbb{N}^*}]\] đểtổng số tuổi của chúng tôi bằng 5 lần tuổi của tôi hiện nay.
Vì sau \[y\] năm tổng số tuổi của chúng tôi gấp \[5\] lần tuổi của tôi hiện nay nênta có phương trình:
\[\left[ {x + y} \right] + \left[ {26 - x + y} \right] = 5x\]
Tuổi của tôi sau \[y\] năm gấp \[3\] lần tuổi của em tôi hiện nay nên ta có phương trình:
\[x + y = 3\left[ {26 - x} \right]\]
Khi đó ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left[ {x + y} \right] + \left[ {26 - x + y} \right] = 5x} \cr
{x + y = 3\left[ {26 - x} \right]} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 26} \cr
{4x + y = 78} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 26} \cr
{8x + 2y = 156} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{13x = 182} \cr
{4x + y = 78} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 14} \cr
{4.14 + y = 78} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 14} \cr
{y = 22} \cr} } \right. \cr} \]
Ta thấy \[x = 14; y = 22\] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hiện nay tuổi của tôi là \[14\] tuổi, tuổi của em tôi là \[26 14 = 12\] [tuổi].
Bài 5.2
Có hai bến xe khách \[P\] và \[Q\]. Một người đi xe đạp từ \[P\] đến \[Q\] với vận tốc không đổi, nhận thấy cứ \[15\] phút lại có một xe khách đi cùng chiều vượt qua và cứ \[10\] phút lại gặp một xe khách đi ngược chiều. Giả thiết rằng các xe khách chạy với cùng một vận tốc, không dừng lại trên đường và ở cả hai bến, cứ \[x\] phút lại có một xe rời bến. Hỏi thời gian \[x\] là bao nhiêu phút và vận tốc xe khách bằng bao nhiêu lần vận tốc người đi xe đạp?
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước \[1\]:Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \[2\]:Giải hệ phương trình nói trên.
Bước \[3\]:Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
-Công thức tính quãng đường đi được: \[S=v.t;\]
Trong đó \[S\]là quãng đường đi được \[[km]\]; \[v\]là vận tốc \[[km/h]\]; \[t\]là thời gian \[[h]\].
Lời giải chi tiết:
Gọi vận tốc người đi xe đạp là \[y\] [km/phút], vận tốc xe khách là \[z\] [km/phút]
Điều kiện: \[z > y > 0\]
- Xét trường hợp các xe khách đi cùng chiều với người đi xe đạp.
Giả sử khi xe khách thứ nhất vượt người đi xe đạp tại điểm \[B\] thì xe khách thứ hai ở điểm \[A\] như hình vẽ.
Hai xe khách khởi hành cách nhau \[x\] phút nên quãng đường \[AB\] là quãng đường mà xe khách phải đi trong \[x\] phút và \[ AB = xz \] [km].
Gọi điểm mà xe khách thứ hai vượt người đi xe đạp là \[C\] thì quãng đường \[BC\] là quãng đường người đi xe đạp đi trong \[15\] phút nên \[ BC=15y\] [km]. Quãng đường \[AC\] là quãng đường xe khách đi trong \[15\] phút nên \[AC =15z\] [km].
Ta có phương trình: \[xz + 15y = 15z\]
- Xét trường hợp các xe khách đi ngược chiều với người đi xe đạp.
Giả sử người đi xe đạp gặp xe khách thứ nhất đi ngược chiều tại điểm \[D\] thì xe khách thứ hai đi ngược chiều đang ở vị trí \[E\] như hình vẽ.
Hai xe khách khởi hành cách nhau \[x\] phút nên \[DE= xz\] [km]. Sau đó \[10\] phút, người đi xe đạp gặp xe khách thứ hai tại điểm \[F\]. Khi đó,quãng đường \[DF\] là quãng đường người đi xe đạp đi trong \[10\] phút nên \[ DF=10y\] [km]. Quãng đường \[EF\] là quãng đường xe khách đi trong \[10\] phút nên \[EF =10z\] [km].
Ta có phương trình: \[10y + 10z = xz\]
Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{xz + 15y = 15z} \cr
{10y + 10z = xz} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{xz + 15y = 15z} \cr
{xz - 10y = 10z} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + \displaystyle 15.{y \over z} = 15} \cr
{x - \displaystyle10.{y \over z} = 10} \cr} } \right. \cr} \]
Đặt \[\displaystyle{y \over z} = t\] \[[t>0]\]
Khi đó hệ phương trình trên trở thành:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{x + 15t = 15} \cr
{x - 10t = 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{25t = 5} \cr
{x - 10t = 10} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = \displaystyle{1 \over 5}} \text {[thoả mãn]}\cr
{x - 10t = 10} \cr
} } \right. \cr
&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = \displaystyle{1 \over 5}} \cr
{x - 10.\displaystyle{1 \over 5} = 10} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t =\displaystyle {1 \over 5}} \cr
{x = 12} \cr} } \right. \cr} \]
Suy ra:\[x = 12;\displaystyle{y \over z} = {1 \over 5} \Rightarrow 5y = z\]
Vậy cứ \[12\] phút lại có một chuyến xe khách rời bến và vận tốc của xe khách gấp \[5\] lần vận tốc của người đi xe đạp.