Đề bài
a] Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Chứng minh rằng đường thẳng ACvuông góc với mặt phẳng [ABD] và mặt phẳng [ACCA] vuông góc với mặt phẳng [ABD].
b] Tính đường chéo ACcủa hình lập phương đã cho.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lý thuyết: "Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu có đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại".
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[AB = A{\rm{D}} = AA' = a\]
và \[C'B = C'D = C'A' = a\sqrt 2 \]
Vì hai điểm Avà C cách đều ba đỉnh của tam giác ABDnên Avà Cthuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BDA . Vậy \[AC' \bot \left[ {B{\rm{D}}A'} \right]\].
Mặt khác vì mặt phẳng [ACCA] chứa đường thẳng ACmà \[AC' \bot \left[ {B{\rm{D}}A'} \right]\]nên ta suy ra mặt phẳng [ACCA] vuông góc với mặt phẳng [BDA]
b] Ta có ACC là tam giác vuông có cạnh \[AC = a\sqrt 2 \]và CC = a
Vậy \[AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} \Rightarrow AC{'^2} = 2{{\rm{a}}^2} + {a^2} = 3{{\rm{a}}^2}\]
Vậy \[AC' = a\sqrt 3 \].