- LG a
- LG b
Tìm cấp số cộng \[\left[ {{u_n}} \right]\] biết
LG a
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\end{array} \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất \[{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k}\].
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27{\rm{ }}\left[ 1 \right]\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275{\rm{ }}\left[ 2 \right]\end{array} \right.\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\
\Leftrightarrow \left[ {{u_1} + {u_3}} \right] + {u_2} = 27\\
\Leftrightarrow 2{u_2} + {u_2} = 27\\
\Leftrightarrow 3{u_2} = 27\\
\Leftrightarrow {u_2} = 9
\end{array}\]
Thay \[{u_2} = 9\] vào [1] và [2] ta được \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 18\,\,[3]\\u_1^2 + u_3^2 = 194\,\,[4]\end{array} \right.\]
\[\left[ 3 \right] \Rightarrow {u_3} = 18 - {u_1}\] thay vào [4] ta được:
\[\begin{array}{l}u_1^2 + {\left[ {18 - {u_1}} \right]^2} = 194\\ \Leftrightarrow u_1^2 + 324 - 36{u_1} + u_1^2 = 194\\ \Leftrightarrow 2u_1^2 - 36{u_2} + 130 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_1} = 13\end{array} \right.\end{array}\]
Với \[{u_1} = 5 \Rightarrow {u_3} = 13\] ta có CSC \[5;9;13\]
Với \[{u_1} = 13 \Rightarrow {u_3} = 5\] ta có CSC \[13;9;5\].
Vậy ta có hai cấp số cộng \[5,9,13\] và \[13,9,5.\]
LG b
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}\end{array} \right.\].
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[{u_n} = {u_1} + \left[ {n - 1} \right]d\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Mặt khác, \[a = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left[ {n - 1} \right]d} \right]}}{2}\] \[ \Rightarrow 2a = 2n{u_1} + \left[ {n - 1} \right]d\] \[ \Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{{2a - \left[ {n - 1} \right]d}}{{2n}}\].
Thay \[{u_1}\] vào [1] ta được:
Kết quả \[d = \pm \sqrt {\dfrac{{12\left[ {n{b^2} - {a^2}} \right]}}{{{n^2}\left[ {{n^2} - 1} \right]}}} \];\[{u_1} = \dfrac{1}{n}\left[ {a - \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}d} \right]\]