- Bài 4.1
- Bài 4.2
- Bài 4.3
- Bài 4.4
Bài 4.1
Giải các phương trình sau bằng cách [chuyển các số hạng tự do sang vế phải; bằng công thức nghiệm] và so sánh kết quả tìm được:
a]\[4{x^2} - 9 = 0\]
b]\[5{x^2} + 20 = 0\]
c]\[2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0\]
d]\[3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0\]
Phương pháp giải:
Cách 1:Chuyển các số hạng tự do sang vế phải, nhận xét vế trái và vế phải của phương trình để giải.
Chú ý: \[{A^2} = B\,\,\left[ {B \ge 0} \right] \Leftrightarrow |A| = \sqrt B \]
Cách 2:Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0[a \ne 0]\]và biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]:
+] Nếu \[\Delta > 0\]thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1}\]=\[\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\] và \[{x_2}\]= \[\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\]
+] Nếu \[\Delta = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\].
+] Nếu \[\Delta < 0\]thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a]Cách 1:
\[4{x^2} - 9 = 0 \]
\[\Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \]
\[ \displaystyle \Leftrightarrow {x^2} = {9 \over 4} \]
\[\displaystyle\Leftrightarrow x = \pm {3 \over 2} \]
Phương trình có hai nghiệm là: \[\displaystyle {x_1} = {3 \over 2};{x_2} = - {3 \over 2}\]
Cách 2:
\[\eqalign{
& \Delta = {0^2} - 4.4.\left[ { - 9} \right] = 144 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {144} = 12 \cr
& {x_1} = {{0 + 12} \over {2.4}} = {{12} \over 8} = {3 \over 2} \cr
& {x_2} = {{0 - 12} \over {2.4}} = {{ - 12} \over 8} = - {3 \over 2} \cr} \]
Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.
b]Cách 1:
\[5{x^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} = - 20\]
Vế trái \[5{x^2} \ge 0\]; vế phải \[-20 < 0\]
Do đó không có giá trị nào của \[x\] để\[5{x^2} = - 20\]
Phương trình vô nghiệm.
Cách 2:
\[\Delta = {0^2} - 4.5.20 = - 400 < 0.\]Phương trình vô nghiệm.
Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.
c]Cách 1:
\[2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0 \]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 - \sqrt 3 \]
\[\Leftrightarrow \displaystyle{x^2} = {{2 - \sqrt 3 } \over 2} \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over 2}} = \sqrt {{{4 - 2\sqrt 3 } \over 4}} \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \left| x \right| = {{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \over 2} \]\[\,\displaystyle= {{\sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}^2}} } \over 2} \]
\[\displaystyle\Leftrightarrow \left| x \right|= {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\\
{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.\]
Phương trình có hai nghiệm là:
\[\displaystyle {x_1} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}\]
Cách 2:
\[ \Delta = {0^2} - 4.2\left[ { - 2 + \sqrt 3 } \right] \]\[\,= 16 - 8\sqrt 3 \]
\[= 4\left[ {4 - 2\sqrt 3 } \right] = 4{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]^2} > 0 \]
\[ \sqrt \Delta = \sqrt {4{{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}^2}} = 2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right] \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\[ \displaystyle{x_1} = {{0 + 2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]} \over {2.2}} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \]
\[ \displaystyle{x_2} = {{0 - 2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]} \over {2.2}}\]\[\,\displaystyle = {{ - \left[ {\sqrt 3 - 1} \right]} \over 2}\]\[\, \displaystyle= {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \]
Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.
d]Cách 1:
\[\eqalign{
& 3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 - \sqrt {145} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} = {{12 - \sqrt {145} } \over 3} \cr} \]
Vì\[12 = \sqrt {144} ;\sqrt {144} < \sqrt {145}\]
\[\displaystyle \Rightarrow {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\]
Ta có vế trái\[{x^2} \ge 0\], vế phải \[\displaystyle {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\]
Phương trình vô nghiệm.
Cách 2:
\[\Delta = {0^2} - 4.3\left[ { - 12 + \sqrt {145} } \right] \]\[\,= - 12\left[ {\sqrt {145} - 12} \right]\]
Vì\[\sqrt {145} - 12 > 0 \] \[\Rightarrow - 12\left[ {\sqrt {145} - 12} \right] < 0\]
\[\Rightarrow \Delta < 0.\]
Phương trình vô nghiệm.
Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.
Bài 4.2
Giải các phương trình sau bằng hai cách [giải phương trình tích; bằng công thức nghiệm] và so sánh kết quả tìm được:
a]\[5{x^2} - 3x = 0\]
b]\[3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\]
c]\[2{x^2} + 7x = 0\]
d]\[2{x^2} - \sqrt 2 x = 0\]
Phương pháp giải:
Cách 1:Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:
\[A\left[ x \right].B\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left[ x \right] = 0\\
B\left[ x \right] = 0
\end{array} \right.\]
Cách 2:Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0[a \ne 0]\]và biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]:
+] Nếu \[\Delta > 0\]thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1}\]=\[\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\] và \[{x_2}\]= \[\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\]
+] Nếu \[\Delta = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\].
+] Nếu \[\Delta < 0\]thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a]Cách 1:
\[ 5{x^2} - 3x = 0 \]
\[ \Leftrightarrow x\left[ {5x - 3} \right] = 0 \]
\[ x = 0\] hoặc \[5x - 3 =0\]
\[ x = 0\] hoặc \[\displaystyle x = {3 \over 5}.\]
Vậy phương trình có hai nghiệm là:\[{x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle {3 \over 5}\].
Cách 2:
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.5.0 = 9 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3 \cr
& {x_1} = {{3 + 3} \over {2.5}} = {6 \over {10}} = {3 \over 5} \cr
& {x_2} = {{3 - 3} \over {2.5}} = {0 \over {10}} = 0 \cr} \]
Vậy phương trình có hai nghiệm là:\[{x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle{3 \over 5}\].
Nhận xét:Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.
b]Cách 1:
\[ 3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 \]
\[ \Leftrightarrow 3x\left[ {\sqrt 5 x + 2} \right] = 0 \]
\[ x = 0\] hoặc\[\sqrt 5 x + 2 = 0\]
\[ x = 0\] hoặc\[\displaystyle x = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\].
Cách 2:
\[\eqalign{
& \Delta = {6^2} - 4.3\sqrt 5 .0 = 36 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {36} = 6 \cr
& {x_1} = {{ - 6 + 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {0 \over {6\sqrt 5 }} = 0 \cr
& {x_2} = {{ - 6 - 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {{ - 12} \over {6\sqrt 5 }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr} \]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[\displaystyle{x_1} = 0;{x_2} = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\].
Nhận xét:Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.
c]Cách 1:
\[2{x^2} + 7x = 0 \]
\[ \Leftrightarrow x\left[ {2x + 7} \right] = 0 \]
\[ x = 0\] hoặc \[2x + 7 = 0\]
\[ x = 0\] hoặc\[\displaystyle x = - {7 \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = 0;\displaystyle {x_2} = - {7 \over 2}\]
Cách 2:
\[\eqalign{
& \Delta = {7^2} - 4.2.0 = 49 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{ - 7 + 7} \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr
& {x_2} = {{ - 7 - 7} \over {2.2}} = {{ - 14} \over 4} = - {7 \over 2} \cr} \]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = 0;\displaystyle {x_2} = - {7 \over 2}\]
Nhận xét:Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.
d]Cách 1:
\[ 2{x^2} - \sqrt 2 x = 0 \]
\[\Leftrightarrow x\left[ {2x - \sqrt 2 } \right] = 0 \]
\[ x = 0\] hoặc\[2x - \sqrt 2 = 0\]
\[ x = 0\] hoặc\[\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[ x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\].
Cách 2:
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - \sqrt 2 } \right]^2} - 4.2.0 = 2 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 2 \cr
& {x_1} = {{\sqrt 2 + \sqrt 2 } \over {2.2}} = {{2\sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{\sqrt 2 - \sqrt 2 } \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr} \]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[ x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\].
Nhận xét:Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.
Bài 4.3
Giải các phương trình:
a]\[{x^2} = 14 - 5x\]
b]\[3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2\]
c]\[{\left[ {x + 2} \right]^2} = 3131 - 2x\]
d]\[\displaystyle {{{{\left[ {x + 3} \right]}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left[ {3x - 1} \right]}^2}} \over 5} \]\[\,\displaystyle+ {{x\left[ {2x - 3} \right]} \over 2}\]
Phương pháp giải:
Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0[a \ne 0]\]và biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]:
+] Nếu \[\Delta > 0\]thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1}\]=\[\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\] và \[{x_2}\]= \[\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\]
+] Nếu \[\Delta = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\].
+] Nếu \[\Delta < 0\]thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a] \[{x^2} = 14 - 5x \]
\[\Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0\]
\[ \Delta = {5^2} - 4.1.\left[ { - 14} \right] \]\[\,= 25 + 56 = 81 > 0 \]
\[ \sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9 \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\[\displaystyle {x_1} = {{ - 5 + 9} \over {2.1}} = {4 \over 2} = 2 \]
\[ \displaystyle {x_2} = {{ - 5 - 9} \over {2.1}} = {{ - 14} \over 2} = - 7 \]
b] \[3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2 = 0 \]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 2 = 0\]
\[\Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \]
\[ \Delta = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4.1.1 = 1 - 4 = - 3 < 0 \]
Phương trình vô nghiệm.
c] \[ {\left[ {x + 2} \right]^2} = 3131 - 2x \]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 2x - 3131 = 0 \]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3127 = 0 \]
\[ \Delta = {6^2} - 4.1.\left[ { - 3127} \right] \]\[\,= 36 + 12508 = 12544 > 0 \]
\[\sqrt \Delta = \sqrt {12544} = 112 \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\[ \displaystyle {x_1} = {{ - 6 + 112} \over {2.1}} = {{106} \over 2} = 53 \]
\[ \displaystyle {x_2} = {{ - 6 - 112} \over {2.1}} = - 59 \]
d] \[\displaystyle {{{{\left[ {x + 3} \right]}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left[ {3x - 1} \right]}^2}} \over 5} \] \[\displaystyle + {{x\left[ {2x - 3} \right]} \over 2} \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow 2{\left[ {x + 3} \right]^2} + 10 = 2{\left[ {3x - 1} \right]^2} \] \[+ 5x\left[ {2x - 3} \right] \]
\[\Leftrightarrow 2{x^2} + 12x + 18 + 10 = 18{x^2} - 12x \]\[\,+ 2 + 10{x^2} - 15x \]
\[ \Leftrightarrow 26{x^2} - 39x - 26 = 0 \]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \]
\[\Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.2.\left[ { - 2} \right] = 9 + 16\]\[\, = 25 > 0 \]
\[\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\[\displaystyle {x_1} = {{3 + 5} \over {2.2}} = {8 \over 4} = 2 \]
\[\displaystyle {x_2} = {{3 - 5} \over {2.2}} = - {1 \over 2} \]
Bài 4.4
Chứng minh rằng nếu phương trình \[a{x^2} + bx + c = x[a \ne 0]\]vô nghiệm thì phương trình \[a{\left[ {a{x^2} + bx + c} \right]^2} + b\left[ {a{x^2} + bx + c} \right]\]\[\, + c = x\]cũng vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Cho phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\;[a \ne 0]\]và biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]:
Phương trình vô nghiệmkhi và chỉ khi \[\Delta < 0\].
Lời giải chi tiết:
Phương trình \[a{x^2} + bx + c = x\;[a \ne 0]\]vô nghiệm.
\[ \Leftrightarrowa{x^2} + \left[ {b - 1} \right]x + c = 0\]vô nghiệm
\[\eqalign{
& \Rightarrow \Delta = {\left[ {b - 1} \right]^2} - 4ac < 0\cr
& \Leftrightarrow 4ac - {\left[ {b - 1} \right]^2} > 0 \cr} \]
Đặt\[f\left[ x \right] =a{x^2} + bx + c\]
Vì\[\displaystyle{\left[ {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right]^2}\ge0\] và \[4ac - {\left[ {b - 1} \right]^2} > 0\]
Do đó \[\displaystyle{\left[ {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right]^2} + {{4ac - {{\left[ {b - 1} \right]}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \]
\[\Rightarrow f\left[ x \right] - x\]luôn cùng dấu với \[a.\]
- Nếu \[a > 0\] thì \[ f\left[ x \right] - x > 0 \] \[\Rightarrow f\left[ x \right] > x\]với mọi \[x.\]
Suy ra: \[a{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + bf\left[ x \right] + c > f\left[ x \right] > x\]với mọi \[x.\]
Vậy không có giá trị nào của \[x\] để\[a{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + bf\left[ x \right] + c = x\]
- Nếu \[a < 0\] thì \[ f\left[ x \right] - x < 0 \Leftrightarrow f\left[ x \right] < x\]với mọi \[x\]
Suy ra: \[a{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + bf\left[ x \right] + c < f\left[ x \right] < x\]với mọi \[x.\]
Vậy không có giá trị nào của \[x\] để \[a{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + bf\left[ x \right] + c = x\]
Vậy phương trình \[a{\left[ {a{x^2} + bx + c} \right]^2} + b\left[ {a{x^2} + bx + c} \right]\]\[\, + c = x\]vô nghiệm.