Đề bài
Cho lục giác \[ABCDEF.\] Chứng minh rằng đường chéo \[BF\] chia \[AD\] thành hai đoạn thẳng theo tỉ số \[1: 3.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Nếu \[C\] là một điểm trên cung \[AB\] thì: \[sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB}.\]
+] Số đo của nửa đường tròn bằng \[180^o.\]
+] Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
+] Trong hình thoi, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Lời giải chi tiết
Lục giác đều \[ABCDEF\] nội tiếp trong đường tròn \[[O]\]
\[\overparen{AB} = \overparen{CB} = \overparen{CD} = \overparen{DE}\]\[ = \overparen{EF}\]\[ = \overparen{FA} =60^\circ\]
\[ \Rightarrow \] \[sđ \overparen{ABCD}\]\[ = sđ \overparen{AB} + sđ \overparen{BC} + sđ \overparen{CD}\]\[=180^\circ\]
Nên \[AD\] là đường kính của đường tròn \[[O]\]
Ta có: \[OA = OB = OF = AB = AF = R\]
Nên tứ giác \[ABOF\] là hình thoi
Gọi giao điểm của \[AD\] và \[BF\] là \[H\]
Ta có: \[FB \bot OA\][tính chất hình thoi]
\[ \Rightarrow AH = HO = \displaystyle{{AO} \over 2} = {R \over 2}\]
\[HD = HO + OD = \displaystyle{R \over 2} + R = {\displaystyle{3R} \over 2}\]
Suy ra: \[\displaystyle{{AH} \over {HD}} = {{\displaystyle{R \over 2}} \over {\displaystyle{{3R} \over 2}}} = {1 \over 3}\]