- Bài IV.4
- Bài IV.5
- Bài IV.6
Bài IV.4
Thể tích và diện tích của hình cầu thay đổi thế nào nếu bán kính hình cầu:
a] Tăng gấp \[2\] lần?
b] Tăng gấp \[3\] lần?
c] Giảm đi \[2\] lần?
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Diện tích mặt cầu bán kính \[r\] là:\[S = 4\pi {r^2}\].
- Thể tích hình cầu bán kính \[r\] là: \[\displaystyle V ={4 \over 3}\pi {r^3}\].
Lời giải chi tiết:
Hình cầu có bán kính \[R\] có thể tích là: \[\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {R^3}\]và diện tích \[S = 4\pi {R^2}\].
a] Nếu tăng bán kính gấp \[2\] lần thì
Thể tích hình cầu là: \[\displaystyle{V_1} = {4 \over 3}\pi {\left[ {2R} \right]^3} = 8.{4 \over 3}\pi {R^3} = 8V\]
Diện tích hình cầu là: \[{S_1} = 4\pi {\left[ {2R} \right]^2} = 4.4\pi {R^2} = 4S\]
b] Nếu tăng bán kính gấp \[3\] lần thì
Thể tích hình cầu là: \[\displaystyle {V_2} = {4 \over 3}\pi {\left[ {3R} \right]^3} = 27.{4 \over 3}\pi {R^3} = 27V\]
Diện tích hình cầu là: \[{S_2} = 4\pi {\left[ {3R} \right]^2} = 9.4\pi {R^2} = 9S\]
c] Nếu giảm bán kính đi \[2\] lần thì
Thể tích hình cầu là: \[\displaystyle {V_3} = {4 \over 3}\pi {\left[ {{R \over 2}} \right]^3} = {1 \over 8}.{4 \over 3}\pi {R^3} = {1 \over 8}V\]
Diện tích hình cầu là: \[\displaystyle {S_3} = 4\pi {\left[ {{R \over 2}} \right]^2} = {1 \over 4}.4\pi {R^2} = {1 \over 4}S\].
Bài IV.5
Quan sát hình nón ở hình bs.31 rồi điền số thích hợp và các ô trống trong bảng sau [lấy \[\pi = 3,14]\]]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Diện tích xung quanh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl\].
- Diện tích toàn phần của hình nón: \[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\].
- Thể tích hình nón:\[\displaystyle V = {1 \over 3}\pi {r^2}h\].
[\[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[ l\] là đường sinh, \[h\] là chiều cao].
Lời giải chi tiết:
Ta điền được bảng sau:
Giải thích:
* Hình nón có \[h=35;l=37\]
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\[r = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{37}^2} - {{35}^2}} = 12\]
\[{S_{xq}} = \pi rl = 3,14.12.37 = 1394,16\]
\[{S_{TP}} = {S_{xq}} + \pi {r^2} \]\[\,= 1394,16 + 3,{14.12^2} = 1846,32\]
\[V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.3,{14.12^2}.35 \]\[\,= 5275,2\]
* Hình nón có \[l=5; S_{TP}=75,36\]
\[\begin{array}{l}
{S_{TP}} = \pi rl + \pi {r^2} = 75,36\\
\Rightarrow 3,14.r.5 + 3,14.{r^2} = 75,36\\
\Rightarrow {r^2} + 5r - 24 = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
r = 3\text{ [nhận]}\\
r = - 8\text{ [loại]}
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\]
\[{S_{xq}} = \pi rl = 3,14.3.5 = 47,1\]
\[V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.3,{14.3^2}.4 = 37,68\]
* Hình nón có \[r=8;h=6\]
\[l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\]
\[{S_{xq}} = \pi rl = 3,14.8.10 = 251,2\]
\[{S_{TP}} = \pi rl + \pi {r^2} = 251,2 + 3,{14.8^2}\]\[\, = 452,16\]
\[V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.3,{14.8^2}.6 = 401,92\]
* Hình nón có\[h=4,5, V=169,56\]
\[V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h \] \[\Rightarrow r = \sqrt {\dfrac{{3V}}{{\pi h}}} = \sqrt {\dfrac{{3.169,56}}{{3,14.4,5}}} = 6\]
\[l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{6^2} + 4,{5^2}} = 7,5\]
\[{S_{xq}} = \pi rl = 3,14.6.7,5 = 141,3\]
\[{S_{TP}} = \pi rl + \pi {r^2} = 141,3 + 3,{14.6^2}\]\[\, = 254,34\]
* Hình nón có\[S_{xq}=6735,3;\;S_{TP}=10154,76\]
\[\begin{array}{l}
{S_{xq}} = \pi rl\\
{S_{TP}} = \pi rl + \pi {r^2}\\
{S_{TP}} - {S_{xq}} = \pi {r^2}\\
\Rightarrow \pi {r^2} = 10154,76 - 6735,3 \\\Rightarrow \pi {r^2} = 3419,46\\
\Rightarrow r = \sqrt {\dfrac{{3419,46}}{{3,14}}} = 33
\end{array}\]
\[{S_{xq}} = \pi rl \] \[\Rightarrow l = \dfrac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}} = \dfrac{{6735,3}}{{3,14.33}} = 65\]
\[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{65}^2} - {{33}^2}} = 56\]
\[V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.3,{14.33^2}.56 \]\[\,= 63829,92\]
Bài IV.6
Quan sát hình cầu ở hình bs.32 rồi điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau [lấy \[\pi = 3,14]\]]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Diện tích mặt cầu bán kính \[r\] là:\[S = 4\pi {r^2}\].
- Thể tích hình cầu bán kính \[r\] là: \[\displaystyle V ={4 \over 3}\pi {r^3}\].
Lời giải chi tiết:
Ta điền được bảng sau:
Giải thích:
* Hình cầu có \[R=4\]
\[d=2R=2.4=8\]
Độ dài đường tròn lớn là:
\[C = 2\pi R = 2.3,14.4 = 25,12\]
\[S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.4^2} = 200,96\]
\[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,{14.4^3} \approx 267,95\]
* Hình cầu có \[d=12\]
\[\begin{array}{l}
R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\\
C = 2\pi R = 2.3,14.6 = 37,68\\
S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.6^2} = 452,16\\
V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,{14.6^3} = 904,32
\end{array}\]
* Hình cầu có \[S=78,5\]
\[S = 4\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt {\dfrac{S}{{4\pi }}} = \sqrt {\dfrac{{78,5}}{{4.3,14}}} \]\[\, = 2,5\]
\[d = 2R = 2.2,5 = 5\]
\[C = 2\pi R = 2.3,14.2,5 = 15,7\]
\[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,14.2,{5^3} \approx 65,42\]
* Hình cầu có \[V=904,32\]
\[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{{3V}}{{4\pi }}}}\]\[\, = \sqrt[3]{{\dfrac{{3.904,32}}{{4.3,14}}}} = 6\]
\[d = 2R = 2.6 = 12\]
\[C = 2\pi R = 2.3,14.6 = 37,68\]
\[S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.6^2} = 452,16\]
* Hình cầu có \[C=15,7\]
\[C = 2\pi R \] \[\Rightarrow R = \dfrac{C}{{2\pi }} = \dfrac{{15,7}}{{2.3,14}} = 2,5\]
\[d = 2R = 2.2,5 = 5\]
\[S = 4\pi {R^2} = 4.3,14.2,{5^2} = 78,5\]
\[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,14.2,{5^3} \approx 65,42\]