Đề bài
Cho tam giác \[ABC.\] Vẽ ở phía ngoài tam giác \[ABC\] các tam giác vuông tại \[A\] là \[ABD, ACE\] có \[AB = AD, AC = AE.\] Kẻ \[AH\] vuông góc với \[BC, DM \] vuông góc với \[AH, EN\] vuông góc với \[AH.\] Chứng minh rằng:
a] \[DM = AH.\]
b] \[MN\] đi qua trung điểm của \[DE\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông nay bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {BAH} + \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {DAM} = 180^\circ \]
Mà \[\widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {DAM} = 90^\circ \] [1]
Xét tam giác \[AMD\] có \[\widehat {AM{\rm{D }}} = 90^\circ\]
\[ \Rightarrow \widehat {DAM} + \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\]
Xét hai tam giác vuông \[AMD\] và \[BHA\] có:
\[\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {BHA} = 90^\circ \]
\[DA=AB \] [gt]
\[\widehat {A{\rm{D}}M}=\widehat {BAH} \][chứng minh trên]
\[ \Rightarrow AMD = BHA \] [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow DM=AH \] [hai cạnh tương ứng] [3]
b] Ta có: \[\widehat {HAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {N{\rm{A}}E} = 180^\circ \]
Mà \[\widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \left[ {gt} \right] \]
\[\Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {N{\rm{A}}E} = 90^\circ \] [4]
Xét tam giác \[AHC\] có \[\widehat {AHC} = 90^\circ \]
\[\Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ\;\; \left[ 5 \right]\]
Từ [4] và [5] suy ra: \[\widehat {HCA} = \widehat {N{\rm{A}}E}\]
Xét hai tam giác vuông \[AHC\] và \[ENA\] có:
\[\widehat {AHC} = \widehat {E{\rm{N}}A} = 90^\circ \]
\[AC = EA\] [gt]
\[\widehat {HCA} = \widehat {N{\rm{A}}E}\][chứng minh trên]
\[ \Rightarrow AHC = ENA\] [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow AH = EN\] [hai cạnh tương ứng] [6]
Từ [3] và [6] suy ra: \[DM = EN\].
Vì \[DM \bot AH\]và \[EN \bot AH\] [giả thiết] nên \[DM // EN\] [hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau]
Gọi \[O\] là giao điểm của \[MN\] và \[DE\]
Vì \[MD//NE\] nên\[\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\][cặp góc so le trong].
Xét hai tam giác vuông \[DMO\] và \[ENO\] có:
\[\widehat {DMO} = \widehat {EN{\rm{O}}} = 90^\circ \]
\[DM = EN\] [chứng minh trên]
\[\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\][chứng minh trên]
\[ \Rightarrow DMO = ENO \] [g.c.g]
\[ \Rightarrow OD = OE\] [hai cạnh tương ứng].
\[\Rightarrow O\] là trung điểm của \[DE\].
Vậy \[MN\] đi qua trung điểm của \[DE.\]