Đề bài
Dựng hình thang cân \[ABCD,\] biết hai đáy \[AB = 1cm,\] \[CD = 3cm,\] đường chéo \[BD = 3cm.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Phân tích:
+] Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+] Chọn ra các yếu tố dựng được ngay [đoạn thẳng, tam giác,...]
+] Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản [Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.]
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải chi tiết
Phân tích: Giả sử hình thang \[ABCD\] dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Từ \[B\] kẻ đường thẳng song song với \[AC\] cắt \[CD\] tại \[E.\] Tứ giác \[ABEC\] là hình thang có hai cạnh bên song song nên \[CE = AB = 1cm,\] \[BE = AC = 3cm\]
Tam giác \[BDE\] xác định được, ta cần xác định đỉnh \[C\] và \[A\]
- Đỉnh \[C\] nằm trên tia \[DE\] cách \[D\] một khoảng bẳng \[3cm\]
- Đỉnh \[A\] nằm trên đường thẳng đi qua \[B\] và song song với \[CD,\] \[A\] cách \[C\] một khoảng bằng \[3cm\]
Cách dựng:
- Dựng \[ BDE\] biết \[BD = 3cm,\] \[BE = 3cm,\] \[DE = 4cm.\]
- Dựng điểm \[C\] trên tia \[DE\] sao cho \[DC = 3cm\]
- Dựng đường thẳng \[d\] đi qua \[B\] song song với \[CD\]
- Dựng cung tròn tâm \[C\] bán kính \[3cm\] cắt đường thẳng \[d\] tại \[A.\]
Nối \[AD\] ta có hình thang \[ABCD\] dựng được.
Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có \[AB // CD.\]
Tứ giác \[ABCD\] là hình thang
\[CD = 3cm,\] \[AC = BD = 3cm.\] Vậy \[ABCD\] là hình thang cân
Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài.