Chứng minhrằng giá trị của biểu thức \[\left[ {n - 1} \right]\left[ {3 - 2n} \right] - n\left[ {n + 5} \right]\] chia hết cho \[3\] với mọi giá trị của \[n\]
Đề bài
Chứng minhrằng giá trị của biểu thức \[\left[ {n - 1} \right]\left[ {3 - 2n} \right] - n\left[ {n + 5} \right]\] chia hết cho \[3\] với mọi giá trị của \[n\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Rút gọn biểu thức:
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức: \[[A+B][C+D]\]\[=AC+AD+BC+BD\]
+] Chứng minh biểu thức đã rút gọn chia hết cho \[3\].
Lời giải chi tiết
\[\left[ {n - 1} \right]\left[ {3 - 2n} \right] - n\left[ {n + 5} \right]\]
\[ = n.3 + n.\left[ { - 2n} \right] - 1.3 - 1.\left[ { - 2n} \right] \]\[- n.n - n.5\]
\[ = 3n - 2{n^2} - 3 + 2n - {n^2} - 5n\]
\[ = - 3{n^2} - 3 = - 3\left[ {{n^2} + 1} \right] \]
Vì \[-3\;\vdots \;3\] nên \[- 3\left[ {{n^2} + 1} \right] \;\vdots \;3\]
Vậy biểu thức chia hết cho \[3\] với mọi giá trị của \[n.\]