Đề bài
Cho hình \[74,\] trong đó \[MN = PQ.\] Chứng minh rằng:
\[a]\] \[AE = AF\]
\[b]\] \[AN = AQ.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn:
+] Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+] Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Nối \[OA\]
Ta có: \[MN = PQ \;\;[gt]\]
Suy ra: \[OE = OF\] [hai dây bằng nhau cách đều tâm]
Xét hai tam giác \[OAE\] và \[OAF,\] ta có:
+] \[\widehat {OEA} = \widehat {{\rm{OF}}A} = 90^\circ \]
+] \[OA\] chung
+] \[OE = OF\] [ chứng minh trên]
Suy ra: \[OAE = OAF\] [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra: \[AE = AF\]
\[b]\] Xét [O] có: \[OE MN\;\; [gt]\]
Suy ra: \[EN =\displaystyle {1 \over 2}MN\] [đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy] \[[1]\]
Xét [O] có: \[OF PQ\;\; [gt]\]
Suy ra: \[FQ =\displaystyle {1 \over 2}PQ\] [đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy] \[[2]\]
Mặt khác: \[MN = PQ\;\; [gt] \;\; \;\;[3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra: \[EN = FQ\;\;\;\; [4]\]
Mà \[AE = AF\] [ chứng minh câu a]
Hay \[AN + NE = AQ + QF \;\; [5]\]
Từ \[[4]\] và \[[5]\] suy ra: \[AN = AQ.\]