Đề bài
Cho hai mặt phẳng \[[\alpha]\] và \[[\beta]\] cắt nhau theo giao tuyến \[d\]. Trong \[[\alpha]\] lấy hai điểm \[A\] và \[B\] sao cho \[AB\] cắt \[d\] tại \[I\]. \[O\] là một điểm nằm ngoài\[[\alpha]\] và \[[\beta]\] sao cho \[OA\] và \[OB\] lần lượt cắt \[[\beta]\] tại \[A\] và \[B\].
a] Chứng minh ba điểm \[I\], \[A\], \[B\] thẳng hàng.
b] Trong \[[\alpha]\] lấy điểm \[C\] sao cho \[A\], \[B\], \[C\] không thẳng hàng. Giả sử \[OC\] cắt \[[\beta]\] tại \[C\], \[BC\] cắt \[BC\] tại \[J\], \[CA\] cắt \[CA\] tại \[K\]. Chứng minh \[I\], \[J\], \[K\] thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[AB\cap d=I\]
Khi đó \[I\in AB, AB\subset [OAB]\Rightarrow I\in [OAB]\] và \[I\in d, d\subset [\beta]\Rightarrow I\in [\beta]\]
Suy ra \[I=[OAB]\cap [\beta]\]
Ta có \[A=OA\cap [\beta]\]
Khi đó \[A\in OA, OA\subset [OAB]\]
\[\Rightarrow A\in [OAB]\] và \[A\in [\beta]\]
Suy ra \[A=[OAB]\cap [\beta]\]
Chứng minh tương tự \[B=[OAB]\cap [\beta]\]
Vậy \[I\], \[A\], \[B\] là ba điểm chung của hai mặt phẳng \[[OAB]\] và \[[\beta]\] nên chúng thẳng hàng.
b]Ta có \[I=AB\cap d\] khi đó \[I\in AB, AB\subset [ABC]\Rightarrow I\in [ABC]\]
Và \[I\in d, d\subset [\beta]\Rightarrow I\in [\beta]\] mà\[A, B, C\in [\beta]\]\[\Rightarrow[ABC]\] là \[[\beta]\] nên \[I\in [ABC]\]
Suy ra \[I\in [ABC]\cap [ABC]\]
Ta có \[BC\cap BC=J\]
Khi đó \[J\in BC, BC\subset [ABC]\Rightarrow J\in [ABC]\] và \[J\in BC, BC\subset [ABC]\]
\[\Rightarrow J\in [ABC]\]
Suy ra \[J\in [ABC]\cap [ABC]\]
Tương tự ta có \[K\in [ABC]\cap [ABC]\]
Vậy \[I\], \[J\], \[K\] là ba điểm chung của hai mặt phẳng \[[ABC]\] và \[[ABC]\] nên chúng thẳng hàng.