Đề bài
Hình thang cân \[ABCD\] có đường chéo \[DB\] vuông góc với cạnh bên \[BC,\] \[DB\] là tia phân giác của góc \[D.\] Tính chu vi của hình thang, biết \[BC = 3cm.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+] Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
+] Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.
+] Tam giác có đường phân giác là đường cao thì đó là tam giác cân.
+] Tam giác cân có một góc \[60^0\] là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình thang cân nên \[AD = BC = 3 \;\;[cm]\] [tính chất hình thang cân]
Ta có: \[AB//CD\] [do ABCD là hình thang] nên \[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\][so le trong]
Lại có DB là tia phân giác của góc ADC nên:
\[\eqalign{
& \widehat {ADB} = \widehat {BDC} \cr
& \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ADB} \cr} \]
\[ ABD\] cân tại \[A\]
\[ AB = AD = 3\;\; [cm]\]
\[ BDC\] vuông tại \[B\]
\[ \Rightarrow \widehat {BDC} + \widehat C = {90^0}\] [tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông bằng \[90^0]\]
Mà \[\widehat {ADC} = \widehat C\][do ABCD là hình thang cân], \[\widehat {BDC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ADC}\] [do DB là phân giác góc D] nên \[\widehat {BDC} = \displaystyle{1 \over 2}\widehat C\]
\[\Rightarrow \widehat C +\displaystyle {1 \over 2}\widehat C = {90^0} \Rightarrow \dfrac{3}2\widehat C = {90^0}\Rightarrow\widehat C = {60^0}\]
Gọi \[O\] là giao điểm của của \[AD\] và \[BC\].
Do \[ \Delta ODC\] có \[DB\] vừa là phân giác, vừa là đường cao nên\[ \Delta ODC\] là tam giác cân tại \[D.\]
Ta lại có: \[\widehat C=60^0\] nên\[ \Delta ODC\] là tam giác đều.
\[\Rightarrow CD=OC=2BC=2.3=6\;\; [cm]\]
Chu vi hình thang \[ABCD\] bằng:
\[AB + BC + CD + DA \]\[= 3+3 +6 +3=15 \;\;\;[cm]\]