Đề bài
Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho \[\widehat {EDC} = \widehat {ECD} = {15^0}\].
a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho \[\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\]. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.
b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau và tính chất về các cạnh và góc của hình vuông.
Lời giải chi tiết
a. Xét \[ EDC\] và \[ FDA :\]
\[\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\]
\[DC = AD\] [do ABCD là hình vuông]
\[\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\]
Do đó: \[ EDC = FDA\] [g.c.g]
\[ DE = DF\]
\[ DEF\] cân tại D
Ta lại có:
\[ \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC} \]\[ \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} - \left[ {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right] \]\[ = {90^0} - \left[ {{{15}^0} + {{15}^0}} \right] = {60^0} \]
Vậy \[ DEF\] đều.
b. Vì \[\widehat {ECD} = {15^0}\] và \[\widehat {DCB} = {90^0}\] nên \[\widehat {ECB} = 90^0-{15^0}=75^0\]
Vì \[\widehat {FDA} = {15^0}\] và \[\widehat {FDE} = {60^0}\] [do tam giác FDE đều] nên \[\widehat {EDA} = 60^0+{15^0}=75^0\]
Xét \[ ADE\] và \[ BCE:\]
\[ED = EC\] [vì \[ EDC\] cân tại E]
\[\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\]
\[AD = BC\] [do ABCD là hình vuông]
Do đó: \[ ADE = BCE\] [c.g.c]
\[ AE = BE\] [1]
Trong \[ AFD\] ta có:
\[\widehat {AFD} = {180^0} - \left[ {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right] \]\[= {180^0} - \left[ {{{15}^0} + {{15}^0}} \right] = {150^0} \]
\[ \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0} \]\[ \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} - \left[ {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right] \]\[ = {360^0} - \left[ {{{150}^0} + {{60}^0}} \right] \]\[= {150^0} \]
Xét \[ AFD\] và \[ AEF:\]
\[AF\] cạnh chung
\[\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\]
\[DF = EF\] [vì \[ DFE\] đều]
Do đó: \[ AFD = AEF\] [c.g.c]
\[ AE = AD\]
\[AD = AB\] [do ABCD là hình vuông]
Suy ra: \[AE = AB\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[AE = AB = BE.\]
Vậy \[ AEB\] đều.