Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\] điểm \[M\] nằm trên cạnh \[BC.\] Gọi \[O\] là trung điểm của \[AM.\] Dựng điểm \[E\] thuộc cạnh \[AB,\] điểm \[F\] thuộc cạnh \[AC\] sao cho \[E\] đối xứng với \[F\] qua \[O\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
+] Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+] Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \[O\] nếu \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó
Lời giải chi tiết
Cách dựng:
- Qua điểm \[M\] dựng đường thẳng song song với \[AC\] cắt \[AB\] tại \[E\]
- Qua điểm \[M\] dựng đường thẳng song song với \[AB\] cắt \[AC\] tại \[F\]
Ta có \[E, F\] là hai điểm cần dựng.
Chứng minh :
\[ME // AC\] hay \[ME // AF\]
\[MF // AB\] hay \[MF // AE\]
Nên tứ giác \[AEMF\] là hình bình hành [theo định nghĩa]
Mà \[O\] là trung điểm của \[AM\]
Suy ra: \[EF\] đi qua \[O\] và \[O\] là trung điểm của \[EF\] [tính chất hình bình hành]
\[ OE = OF\]
Vậy \[E\] đối xứng với \[F\] qua tâm \[O.\]