Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang \[\left[ {AB//CD,\,AB > CD} \right].\] Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.
a] Chứng minh rằng các điểm S, E, M, G cũng thuộc một mặt phẳng và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] theo cùng một đường thẳng\[\Delta \].
b] Gọi \[{C_1}\] và \[{D_1}\] là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh SC, SD sao cho \[A{D_1}\] và \[B{C_1}\] cắt nhau tại K. Chứng minh các điểm S, K, E thẳng hàng và giao điểm \[{O_1}\] của \[A{C_1}\] với \[B{D_1}\] thuộc \[\Delta \].
Lời giải chi tiết
a] Gọi N là giao điểm của EM và CD. Do M là trung điểm của AB và AB // CD nên N cũng là trung điểm của CD; suy ra G thuộc EM, hay \[G \in mp\left[ {SEM} \right],\] tức là các điểm S, E, M , G thuộc mp[SEM].
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì đường thẳng MN đi qua O. Vậy ba mặt phẳng [SEM], [SAC] và [SBD] đều có chung hai điểm S và O nên SO chính là giao tuyến chung \[\Delta \] của ba mặt phẳng trên.
b]Vì K thuộc \[A{D_1}\] và \[B{C_1}\] nên tương ứng K thuộc mp[SAD] và mp[SBC]. Do đó K nằm trên giao tuyến SE của hai mặt phẳng [SAD] và [SBC]. Vậy ba điểm S, E, K thẳng hàng.
Điểm \[{O_1}\] nằm trên \[A{C_1}\] và\[B{D_1}\] nên \[{O_1}\] phải thuộc [SAC] và [SBD] [do \[A{C_1} \subset \left[ {SAC} \right],\,B{D_1} \subset \left[ {SBD} \right]\]].Từ đó, suy ra \[{O_1}\] phải thuộc giao tuyến \[\Delta \] của hai mặt phẳng [SAC] và [SBD].