Đề bài
Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC.
a] Xác định đường thẳng qua M cắt AN và cắt AB.
b] Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \[\Delta \] với AN và AB. Hãy tìm tỉ số \[{{IM} \over {{\rm{IJ}}}}\].
Lời giải chi tiết
a] Giả sử đã dựng được đường thẳng \[\Delta \] cần tìm cắt cả AN và BA. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \[\Delta \] với AN và BA.
Xét phép chiếu song song lên mp[ABCD] theo phương chiếu AB. Khi đó ba điểm I, J, M lần lượt có hình chiếu là B, I và M. Do đó ba điểm B, I, M thẳng hàng. Gọi N là hình chiếu của N thì AN là hình chiếu của AN. Vì I thuộc AN nên I thuộc AN. Vậy I là giao điểm của BM và AN.
Từ phân tích ở trên ta có thể dựng đường thẳng \[\Delta \] theo các bước sau đây:
- Lấy giao điểm I của AN và BM.
- Trong mp[ANN] dựng II // NN [đã có NN // CD] cắt AN tại I.
- Vẽ đường thẳng MI, đó là đường thẳng \[\Delta \] cần tìm.
Dễ chứng minh được, đường thẳng \[\Delta \]nói trên cắt BA.
b] Dễ thấy: MC = CN
suy ra: MN = CD = AB.
Do đó I là trung điểm của BM.
Mặt khác II // JB, nên II là đường trung bình của tam giác MBJ, suy ra:
\[IM = {\rm{IJ}} \Rightarrow {{IM} \over {IJ}} = 1\]