Đề bài
Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:
\[\left\{ \matrix{\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1 \hfill \cr z + {\rm{w}} = li \hfill \cr} \right.\]
Trong đó l là số thực cho trước.
Lời giải chi tiết
Ta xét các trường hợp sau:
1] \[l = 0.\] Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho \[\left| z \right| = 1\], còn \[{\rm{w}} = - z\]
2] \[l \ne 0.\] Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w.
Do \[l \ne 0\] nên P khác O. Điều kiện \[z + {\rm{w}} = li\] tương đương với điều kiện \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OP} \]. Nhưng vì \[\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\] nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị [O] với đường trung trực [d] của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau:
Khi \[0 \ne \left| l \right| < 2\] thì [O] và [d] cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số \[ \pm {1 \over 2}\sqrt {4 - {l^2}} + {l \over 2}i\]
Khi \[l = 2\] thì [O] và [d] tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi \[l = - 2\] thì [O] và [d] tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi \[\left| l \right| > 2\] thì [O] và [d] không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.