- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
Trong không gian tọa độ Oxyz cho sáu điểm
A[2; 0; 0]; A[6; 0; 0]; B [0; 3; 0]; B[0; 4; 0]; C[0; 0; 3]; C[0; 0; 4].
LG a
Viết phương trình mp[ABC] và mp[ABC]. Tính cosin của góc giữa 2 mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] có phương trình theo đoạn chắn là \[{x \over 2} + {y \over 3} + {z \over 3} = 1\] nên có phương trình tổng quát là:
\[3x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = {\rm{ }}\left[ {3{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right].\]
Mặt phẳng \[\left[ {A'B'C} \right]\] có phương trình theo đoạn chắn là \[{x \over 6} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1\] nên có phương trình tổng quát \[2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {n'} = {\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right].\]
Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có
\[\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = {{\left| {6 + 6 + 6} \right|} \over {\sqrt {17} .\sqrt {22} }} = {{18} \over {\sqrt {374} }}.\]
LG b
Viết phương trình giao tuyến \[\Delta \] của hai mặt phẳng mp[ABC] và mp [ABC]. Tính khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng \[\Delta \].
Lời giải chi tiết:
Gọi A là giao tuyến của \[\left[ {ABC} \right]\] và \[\left[ {A'B'C} \right].\] Điểm \[M\left[ {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right] \in \Delta \] nên toạ độ của M là nghiệm của hệ :
\[\left\{ \matrix{ 3x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr 2x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0. \hfill \cr} \right.\]
Cho \[z = 0,\] ta tính được \[x = - {6 \over 5},y = {{24} \over 5}.\]
Vậy điểm \[I\left[ { - {6 \over 5};{{24} \over 5};0} \right]\] thuộc \[\Delta \] và vectơ chỉ phương của \[\Delta \] là
\[\overrightarrow {{u_\Delta }} = {1 \over 5}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left[ {0; - 1;1} \right].\]
Gọi d là khoảng cách từ O tới \[\Delta \], ta có : \[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}.\]
Vì \[\overrightarrow {OI}\left[ { - {6 \over 5};{{24} \over 5};0} \right]\], \[\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left[ {{{24} \over 5};{6 \over 5};{6 \over 5}} \right]\] nên \[d\left[ {O;\Delta } \right] = {{\sqrt {{{\left[ {{{24} \over 5}} \right]}^2} + {{\left[ {{6 \over 5}} \right]}^2} + {{\left[ {{6 \over 5}} \right]}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = {{18} \over 5}.\]
LG c
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng. Xác định tọa độ H.
Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \[G = \left[ {{2 \over 3};1;1} \right].\] Vectơ pháp tuyến của mp\[\left[ {A'B'C'} \right]\] là \[\overrightarrow {n'} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3\overrightarrow {OG} .\] Vậy đường thẳng OG vuông góc với mp\[\left[ {A'B'C'} \right]\].
Mặt khác, tứ diện OA'B'C' vuông tại O nên trực tâm H' của tam giác A'B'C' là hình chiếu vuông góc của O trên mp\[\left[ {A'B'C'} \right]\]. Do đó, O, G, H' thẳng hàng.
Để xác định toạ độ của H', ta giải hệ
\[\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = 3t \hfill \cr z = 3t \hfill \cr 2x + 3y + 3z - 12 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Rightarrow t = {6 \over {11}} \Rightarrow H' = \left[ {{{12} \over {11}};{{18} \over {11}};{{18} \over {11}}} \right].\]
LG d
Gọi O là điểm đối xứng của O qua mặt phẳng [ABC]. Điểm O có thuộc mp[ABC] không?
Lời giải chi tiết:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp[ABC]. Toạ độ của H thoả mãn hệ
\[\left\{ \matrix{ x = 3t \hfill \cr y = 2t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr 3x + 2y + 2z - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow t = {6 \over {17}} \Rightarrow H = \left[ {{{18} \over {17}};{{12} \over {17}};{{12} \over {17}}} \right].\]
Gọi O' là điểm đối xứng của O qua mp[ABC]. Vì H là trung điểm của OO' nên \[O'{\rm{ }} = \left[ {{{36} \over {17}};{{24} \over {17}};{{24} \over {17}}} \right].\]
Thay toạ độ của O' vào phương trình mp[A'B'C'], ta thấy không thoả mãn, vậy O' không thuộc mp[A'B'C'].
LG e
Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A, A, B, C. Chứng minh rằng mặt cầu đó cũng đi qua B và C.
Lời giải chi tiết:
Giả sử [S] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {\rm{ }}{z^2} + 2ax + {\rm{ }}2by + {\rm{ }}2cz + {\rm{ }}d{\rm{ }} = 0.\]
Vì \[A,A',{\rm{ }}B,C \in \left[ S \right]\] nên ta có hệ:
\[\left\{ {\matrix{ \matrix{ 4{\rm{ }} + 4a + d{\rm{ }} = 0{\rm{ }} \hfill \cr 36{\rm{ }} + {\rm{ }}12a + {\rm{ }}d = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \hfill \cr {9{\rm{ }} + 6b + d{\rm{ }} = 0} \hfill \cr {9{\rm{ }} + 6c + d = {\rm{ }}0} \hfill \cr } } \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = - 4 \hfill \cr b = c = - {7 \over 2} \hfill \cr d = 12. \hfill \cr} \right.\]
Vậy [S] có phương trình : \[{x^2} + {y^2} + {\rm{ }}{z^2} - 8x - 7y - 7z + {\rm{ }}12{\rm{ }} = 0.\]
[S] có tâm \[K = \left[ {4;{7 \over 2};{7 \over 2}} \right]\] và \[R = {{\sqrt {114} } \over 2}.\]
Toạ độ B', C' cũng thoả mãn [S] nên mặt cầu [S] cũng đi qua B', C'.
LG g
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] và song song với mặt phẳng tọa độ [Oxy].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng song song với [Oxy] có phương trình \[\;z + {\rm{ }}D{\rm{ }} = 0\;[D{\rm{ }} \ne 0].\] Khi đó \[\left[ \alpha \right]\] tiếp xúc với [S] khi và chỉ khi \[d\left[ {K,\left[ \alpha \right]} \right] = R\]
Vậy có hai mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu [S] và song song với mp[Oxy] là:
\[z - {7 \over 2} \pm {{\sqrt {114} } \over 2} = 0\] .