Đề bài
Giải phương trình:
\[12\cos x + 5\sin x \]\[+ {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\]
Lời giải chi tiết
Đặt \[y = 12\cos x + 5\sin x + 14\], ta có phương trình \[y + {5 \over y} - 6 = 0\].
\[ \Leftrightarrow {y^2} - 6y + 5 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = 5
\end{array} \right.\]
Do đó
\[\left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x + 14 = 1 \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x + 14 = 5 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x = - 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x = - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right.\]
Chia hai vế của phương trình [1] và [2] cho \[13\left[ {13 = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } \right]\], gọi \[\alpha \] là số thỏa mãn \[\cos \alpha = {{12} \over {13}}\] và \[\sin \alpha = {5 \over {13}}\], ta có :
[1] \[ \Leftrightarrow \cos [x - \alpha ] = - 1\]
\[ \Leftrightarrow x - \alpha = \pi + k2\pi \]
\[\Leftrightarrow x = \alpha + \pi + k2\pi \]
[2] \[ \Leftrightarrow \cos [x - \alpha ] = - {9 \over {13}}\]
\[\Leftrightarrow x = \alpha \pm \arccos \left[ { - {9 \over {13}}} \right] + k2\pi \]