- LG a
- LG b
Giải và biện luận các phương trình sau [m là tham số]:
LG a
\[f'\left[ x \right] = 0\]biết\[f\left[ x \right] = {{m{x^4}} \over 4} - \left[ {m + 2} \right]{{{x^3}} \over 3} + {{5{x^2}} \over 2} - 3x + 1\]
Lời giải chi tiết:
Với mọi \[x \in R\], ta có
\[\eqalign{& f'\left[ x \right] = m{x^3} - \left[ {m + 2} \right]{x^2} + 5x - 3 \cr& f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow m{x^3} - \left[ {m + 2} \right]{x^2} + 5x-3=0\,\,\,\left[ 1 \right] \cr} \]
Thử thấy \[x = 1\] là một nghiệm, nên ta có thể viết [1] dưới dạng
\[\eqalign{& \left[ {x - 1} \right]\left[ {m{x^2} - 2x + 3} \right] = 0 \cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {2a} \right] \hfill \cr m{x^2} - 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {2b} \right] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Ta hãy giải phương trình [2b]. Xét hai trường hợp
\[ \bullet \] Với \[m = 0\] thì \[\left[ {2b} \right] \Leftrightarrow x = {3 \over 2}\]
\[ \bullet \] Với \[m \ne 0\] thì
\[\left[ {2b} \right] \Leftrightarrow x = {{1 \pm \sqrt {1 - 3m} } \over m}\] [Với điều kiện \[0 \ne m \le {1 \over 3}\] ]
Kết luận
+ Với \[m > {1 \over 3}\], phương trình có nghiệm \[{x_0} = 1\]
+ Với \[m = 0\], phương trình có nghiệm \[{x_0} = 1\] và \[{x_1} = {3 \over 2}\]
+ Với \[0 \ne m \le {1 \over 3}\], phương trình có các nghiệm là
\[{x_0} = 1,{x_1} = {{1 - \sqrt {1 - 3m} } \over m}\] và \[{x_2} = {{1 + \sqrt {1 - 3m} } \over m}\]
LG b
\[f\left[ x \right].f'\left[ x \right] = m\]biết\[f\left[ x \right] = \sqrt {{x^2} - 2x - 8} \]
Lời giải chi tiết:
Để hàm số đã cho cá đạo hàm thì ta phải có
\[{x^2} - 2x - 8 > 0 \Leftrightarrow x < - 2\] hoặc \[x > 4.\]
Với điều kiện \[x < - 2\] hoặc \[x > 4,\] ta có
\[f'\left[ x \right] = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}\]
Phương trình
\[\eqalign{& f\left[ x \right].f'\left[ x \right] = m\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x < - 2\text{ hoặc }x > 4 \hfill \cr{{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}.\sqrt {{x^2} - 2x - 8} = m \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{\matrix{x < - 2\text{ hoặc }x > 4 \hfill \cr x - 1 = m \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr1 + m < - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr1 + m > 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr m < - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr m > 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr\left| m \right| > 3 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Kết luận
+ Với \[\left| m \right| \le 3\] thì phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với \[\left| m \right| > 3\] thì phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 1 + m.\]