- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau:
LG a
\[2\sin x + \cot x = 2\sin 2x + 1\]
Lời giải chi tiết:
Với điều kiện \[\sin x \ne 0,\] ta có:
\[\eqalign{
& 2\sin x + \cot x = 2\sin 2x + 1 \cr&\Leftrightarrow 2\sin x + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 4\sin x\cos x + 1\cr&\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \cos x = 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x \cr
& \Leftrightarrow \left[ {2{{\sin }^2}x - \sin x} \right] - \left[ {4{{\sin }^2}x\cos x - \cos x} \right] = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin x\left[ {2\sin x - 1} \right] - \cos x\left[ {2\sin x - 1} \right]\left[ {2\sin x + 1} \right] = 0\cr&\Leftrightarrow \left[ {2\sin x - 1} \right]\left[ {\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0\\
\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0
\end{array} \right.\]
+] \[2\sin x - 1 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\]
+] \[\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0\]
Đặt \[t = \sin x - \cos x\] với \[\left| t \right| \le \sqrt 2 \] ta có:
\[{t^2} = 1 - 2\sin x\cos x \] \[\Rightarrow 2\sin x\cos x = 1 - {t^2}\]
Thay vào phương trình trên ta được:
\[\begin{array}{l}
t - \left[ {1 - {t^2}} \right] = 0\\
\Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\left[ {TM} \right]\\
t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\left[ {loai} \right]
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \sin x - \cos x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\Rightarrow \sqrt 2 \sin \left[ {x - \frac{\pi }{4}} \right] = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left[ {x - \frac{\pi }{4}} \right] = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \\
x - \frac{\pi }{4} = \pi - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi\],\[x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2 } + k2\pi, \]\[x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \]
LG b
\[{\tan ^2}x[1 - {\sin ^3}x] + {\cos ^3}x - 1 = 0\]
Lời giải chi tiết:
\[x = {\pi \over 4} + k\pi ,x = 2k\pi ,x = {\pi \over 4} \pm \alpha + 2m\pi ,\] với \[\cos \alpha = {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }}\]
Hướng dẫn: Với điều kiện \[\cos x \ne 0,\] ta có:
\[\eqalign{
& {\tan ^2}x[1 - {\sin ^3}x] + {\cos ^3}x - 1 = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left[ {1 - {{\sin }^3}x} \right] - {\cos ^2}x\left[ {1 - {{\cos }^3}x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right]\left[ {1 - {{\sin }^3}x} \right] - \left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right]\left[ {1 - {{\cos }^3}x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {1 - \cos x} \right]\left[ {1 - \sin x} \right]\left[ {\left[ {1 + \cos x} \right]\left[ {1 + \sin x + {{\sin }^2}x} \right] - \left[ {1 + \sin x} \right]\left[ {1 + \cos x + {{\cos }^2}x} \right]} \right]=0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {1 - \cos x} \right]\left[ {1 - \sin x} \right]\left[ {\sin x + \cos x} \right]\left[ {\sin x - \cos x} \right] + \sin x\cos x\left[ {\sin x - \cos x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {1 - \cos x} \right]\left[ {1 - \sin x} \right]\left[ {\sin x - \cos x} \right]\left[ {\sin x + \cos x + \sin x\cos x} \right] = 0 \cr} \]
Đối với phương trình \[\sin x + \cos x + \sin x\cos x = 0,\] đặt \[t = \sin x + \cos x\] với \[\left| t \right| \le \sqrt 2 \]
Chú ý rằng tất cả các nghiệm của phương trình \[1 - \sin x = 0\] đều không thỏa mãn điều kiện \[\cos x \ne 0\] nên bị loại.
LG c
\[1 + \cot 2x = {{1 - \cos 2x} \over {{{\sin }^2}2x}}\]
Lời giải chi tiết:
\[x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2},x = - {\pi \over 4} + l\pi \]
Hướng dẫn: Với điều kiện \[\sin 2x \ne 0,\] ta có:
\[\eqalign{
& 1 + \cot 2x = {{1 - \cos 2x} \over {{{\sin }^2}2x}}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + \sin 2x\cos 2x = 1 - \cos 2x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}2x - \cos 2x - \sin 2x\cos 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow {\cos ^2}2x - \cos 2x - \sin 2x\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x\left[ {\cos 2x - \sin 2x - 1} \right] = 0 \cr} \]
Chú ý, loại các giá trị của x không thỏa mãn điều kiện \[\sin 2x \ne 0\]
LG d
\[6\sin x - 2{\cos ^3}x = {{5sin4x\cos x} \over {2\cos 2x}}\]
Lời giải chi tiết:
Vô nghiệm
Hướng dẫn: Với điều kiện \[\cos 2x \ne 0,\] ta có
\[\eqalign{
& 6\sin x - 2{\cos ^3}x = {{5sin4x\cos x} \over {2\cos 2x}}\cr& \Leftrightarrow 6\sin x - 2{\cos ^3}x = 5sin2x\cos x \cr
& \Leftrightarrow 6\sin x - 2{\cos ^3}x = 10\sin x{\cos ^2}x \cr&\Leftrightarrow 3\sin x - {\cos ^3}x - 5\sin x{\cos ^2}x = 0 \cr} \]
Với \[\cos x \ne 0,\] chia hai vế cho \[{\cos ^3}x\] ta được một phương trình đối cới \[\tan x,\] tuy nhiên các nghiệm của phương trình này đều không thỏa mãn điều kiện \[\cos 2x \ne 0\].