Đề bài
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc cuả B và C xuống đường thẳng AD.
a] Chứng minh tam giác AKC bằng tam giác BHA.
b] Gọi I là giao điểm của Am với CK. Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với AC.
c] Chứng minh KM là tia phân giác góc HKI.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[\widehat {BAH} + \widehat {DAC} = 90^\circ [\widehat {BAC} = 90^\circ ]\]
\[\widehat {ACK} + \widehat {DAC} = 90^\circ\] [AKC vuông tại K]
Do đó \[\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\]
Xét AKC [\[\widehat {AKC} = 90^\circ\]] và BHA [\]\widehat {BHA} = 90^\circ\]] có:
AC = AB [ABC vuông cân ở A]
Và \[\widehat {ACK} = \widehat {BAH}\]
Do đó: AKC = BHA [cạnh huyền góc nhọn].
b] ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến [gt].
=> AM là đường cao của tam giác ABC. Vậy \[AM \bot BC\] tại M.
AIC có: AK là đường cao [\[AK \bot CI\] tại K]
CM là đường cao [\[CM \bot AI\] tại M]
AK cắt CM tại D [gt]
Do đó D là trực tâm của AIC => ID là đường cao của AIC. Vậy \[DI \bot AC.\]
c] AMC vuông tại M [\[AM \bot BC\] tại M] có \[\widehat {ACM} = 45^\circ\] [ABC vuông cân tại A]
=> AMC vuông cân tại M => AM = CM
Xét AMH và CMK có AM = CM
\[\widehat {MAH} = \widehat {MCK}\] [cùng phụ với góc AIK]
AH = CK [AKC = BHA]
Do đó AMH = CMK [c.g.c] => MH = MK, \[\widehat {AMH} = \widehat {CMK}\]
Ta có \[\widehat {HMK} = \widehat {HMC} + \widehat {CMK} = \widehat {HMC} + \widehat {AMH} = \widehat {AMC} = 90^\circ\]
MHK vuông tại M có MH = MK.
=> MHK vuông cân tại M \[ \Rightarrow \widehat {MHK} = 45^\circ\]. Mà\[\widehat {MKH} + \widehat {MKI} = \widehat {AKI} = 90^\circ\]
Nên \[\widehat {MKI} = 90^\circ - \widehat {MKH} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\]
Ta có \[\widehat {MKI} = \widehat {MKH}[ = 45^\circ ]\].Vậy KM là tia phân giác góc HKI.