Đề bài
Cho tam giác ABC nhọn [AB < AC], phân giác của góc A cắt BC tại D. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
a] Chứng minh rằng \[\Delta ADB = \Delta ADE\]
b] Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng AF = AC.
c] Chứng minh rằng \[\Delta DBF = \Delta DEC\]
Lời giải chi tiết
a]Xét tam giác ADB và ADE có:
AB = AE [gt]
\[\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\] [AD là tia phân giác của góc BAC]
AD là cạnh chung.
Do đó: \[\Delta ADB = \Delta ADE[c.g.c]\]
b] Ta có: \[\Delta ADB = \Delta ADE\] [chứng minh câu a]
Suy ra: \[\widehat {ABD} = \widehat {AED}\] và BD = ED
Xét tam giác AEF và ABC có:
\[\widehat {EAF} = \widehat {BAC}\] [góc chung]
AE = AB [gt]
\[\widehat {AEF} = \widehat {ABC}[\widehat {ABD} = \widehat {AED}]\]
Do đó: \[\Delta AEF = \Delta ABC[g.c.g] \Rightarrow AF = AC\]
c] Ta có: \[\eqalign{ & \widehat {ABD} + \widehat {DBF} = {180^0} \cr & \widehat {AED} + \widehat {DEC} = {180^0} \cr} \] [hai góc kề bù]
Mà \[\widehat {ABD} = \widehat {AED}\] [chứng minh câu b] nên \[\widehat {DBF} = \widehat {DEC}\]
Xét tam giác BFD và ECD có:
\[\widehat {FBD} = \widehat {CED}[cmt]\]
BD = ED [chứng minh câu b]
\[\widehat {BDF} = \widehat {EDC}\] [hai góc đối đỉnh]
Do đó: \[\Delta BFD = \Delta ECD[g.c.g]\]