Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E vuông góc BE = BA. Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt AC ở F và cắt AB ở G.
a] Chứng minh rằng tam giác AEF cân.
b] Chứng minh rằng AC = GE.
c] Kẻ \[AH \bot BC[H \in BC].\] Gọi I là giao điểm của AH và BF. Chứng minh rằng tam giác AIF cân.
Lời giải chi tiết
a]Xét tam giác ABF vuông tại A và tam giác EBF vuông tại E có:
BF là cạnh chung.
BA = BE [gt]
Do đó \[\Delta ABF = \Delta EBF\] [cạnh huyền - cạnh góc vuông]
=>AF = EF => tam giác AEF cân tại F.
b] Xét tam giác ABC và EBG có:
\[\widehat {BAC} = \widehat {BEG}[ = {90^0}]\]
BA = BE [gt]
\[\widehat {ABC}\] là góc chung.
Do đó: \[\Delta ABC = \Delta EBG[g.c.g] \Rightarrow AC = GE.\]
c] Ta có: \[\eqalign{ & AH \bot BC[gt] \cr & EF \bot BC[gt] \cr} \]
\[\Rightarrow AH = EF \Rightarrow \widehat {AIF} = \widehat {BFE}\] [so le trong]
Mà \[\widehat {AFI} = \widehat {BFE}[\Delta ABF = \Delta EBF] \Rightarrow \widehat {AIF} = \widehat {AFI}.\]
Do đó: tam giác AIF cân tại A.