Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H.
a] Kẻ \[HF \bot AB,HF \bot AC[E \in AB,F \in AC].\] Chứng minh rằng AE = AF.
b] Chứng minh rằng EF // BC.
Lời giải chi tiết
a]Tam giác ABC cân tại A [gt] => AB = AC và \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\]
Mà \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^0}[\Delta ABH\] vuông tại H]
Và \[\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = {90^0}[\Delta ACH\] vuông tại H].
Nên \[\widehat {BAH} = \widehat {CAH}.\]
Xét tam giác AEH vuông tại E \[[HE \bot AB]\]
Và tam giác AFH vuông tại F \[[HF \bot AC]\] có:
AH là cạnh chung.
\[\widehat {EAH} = \widehat {FAH}\] [chứng minh trên].
Do đó: \[\Delta AEH = \Delta AFH\] [cạnh huyền - góc nhọn] => AE = AF.
b]Tam giác AEF có: AE = AF => tam giác AEF cân tại A\[\widehat {AEF} = \widehat {AFE}.\]
Mà \[\widehat {AEF} + \widehat {AFE} + \widehat {EAF} = {180^0}\] [tổng ba góc của một tam giác].
Nên \[\widehat {AEF} + \widehat {AEF} + \widehat {EAF} = {180^0} \to 2\widehat {AEF} + \widehat {EAF} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AEF} = {{{{180}^0} - \widehat {EAF}} \over 2}[1]\]
Tam giác ABC có: \[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = {180^0}\] mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}[\Delta ABC\] cân tại A]
Nên \[\widehat {ABC} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat {BAC}} \over 2}[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {AEF} = \widehat {ABC}.\]
Mà góc AEF và ABC đồng vị. Do đó EF // BC.