Trong 2 cung của một đường tròn hai hai đường tròn bằng nhau

Từ circle có nguồn gốc từ tiếng Hy Lap κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), nghĩa là "vòng" hay "nhẫn".[1]

Đường tròn đã được biết đến từ trước khi lịch sử ghi nhận được. Những hình tròn trong tự nhiên hẳn đã được quan sát, ví dụ như Mặt Trăng, Mặt Trời... Đường tròn là nền tảng để phát triển bánh xe, mà cùng với những phát minh tương tự như bánh răng, là thành phần quan trọng trong máy móc hiện đại. Trong toán học, việc nghiên cứu đường tròn đã dẫn đến sự phát triển của hình học, thiên văn học và vi tích phân.

Khoa học sơ khai, đặc biệt là hình học, thiên văn học và chiêm tinh học, thường được nhiều học giả thời trung cổ kết nối với thánh thần, và nhiều người tin rằng có gì đó "thiêng liêng" và "hoàn hảo" ở hình tròn.[2][3]

Một số dấu mốc trong lịch sử đường tròn:

• Năm 1700 trước Công nguyên– Bản giấy cói Rhind đưa ra phương pháp để tính diện tích hình tròn. Kết quả tương đương với 256/81 (3.16049...) như một giá trị xấp xỉ của

  π

  .[4]
• Năm 300 trước Công nguyên – Quyển 1, Quyển 3 của bộ sách Cơ sở của Euclid đưa ra định nghĩa và bàn về những tính chất của đường tròn.
• Trong Bức thư thứ bảy của Plato có một định nghĩa chi tiết và giải thích về đường tròn. Plato viết về một đường tròn hoàn hảo, và sự khác biệt của nó với bất kì hình vẽ, giải thích hay định nghĩa nào khác.
• Năm 1880 – Lindemann chứng minh được

  π

  là số siêu việt, giải quyết trọn vẹn bài toán cầu phương hình tròn sau hơn một thiên niên kỷ.[5]

Tỉ số của độ dài đường tròn với đường kính của nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 3.141592654, vậy chu vi của hình tròn (còn được gọi là viên chu), là độ dài của đường tròn, bằng tích của pi với đường kính hoặc 2 lần pi nhân với bán kính. Công thức:

C = 2 π r = π d . {\displaystyle C=2\pi r=\pi d.\,}  

Trong bản luận Sự đo đạc của một hình tròn của Archimedes, diện tích hình tròn A bằng diện tích của tam giác có cạnh đáy bằng chu vi đường tròn và đường cao bằng bán kính hình tròn,[6] tức A bằng π nhân cho bình phương bán kính:

A = π r 2 . {\displaystyle \mathrm {A} =\pi r^{2}.\,}  

Tương tự, ký hiệu đường kính là d,

A = π d 2 4 ≈ 0 . 7854 d 2 , {\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},}  

tức khoảng 79% diện tích hình vuông ngoại tiếp đường tròn (với độ dài cạnh là d). Đường tròn cũng là hình phẳng bao kín nhiều diện tích nhất với chu vi cho trước.

Phương trình

Hệ tọa độ Descartes

Trong hệ tọa độ Descartes, vòng tròn có tâm tại (a, b) và bán kính r là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn:

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 . {\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.}  

Phương trình này, được biết là Phương trình đường tròn, xuất phát từ Định lý Pytago áp dụng cho một điểm trên đường tròn: Như trong hình bên, bán kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |x − a| và |y − b|. Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ (0, 0), thì phương trình được thu gọn thành:

x 2 + y 2 = r 2 .   {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ }  

Phương trình có thể viết dưới dạng tham số sử dụng các hàm lượng giác sin và cosine như sau

x = a + r cos ⁡ t , {\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,}  

y = b + r sin ⁡ t {\displaystyle y=b+r\,\sin t\,}  

với t là tham số trong khoảng từ 0 đến 2π, một cách hình học, t tương đương với góc tạo bởi tia đi qua (a, b), (x, y) và trục x dương.

Một phương trình tham số khác của đường tròn là:

x = a + r 1 − t 2 1 + t 2 . {\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\,}  

y = b + r 2 t 1 + t 2 {\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\,}  

Tuy nhiên ở sự tham số hóa này, t không chỉ chạy qua tất cả số thực mà còn chạy tới vô hạn, nếu không thì điểm dưới cùng của đường tròn sẽ không được thể hiện.

Trong hệ tọa độ đồng nhất, mỗi đường conic với phương trình của đường tròn có dạng:

x 2 + y 2 − 2 a x z − 2 b y z + c z 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.\,}  

Trong hệ tọa độ cực phương trình của một đường tròn là:

r 2 − 2 r r 0 cos ⁡ ( θ − ϕ ) + r 0 2 = a 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}  

với a là bán kính của đường tròn, ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )}   là tọa độ cực của một điểm trên đường tròn, và ( r 0 , ϕ ) {\displaystyle (r_{0},\phi )}   là tọa độ cực của tâm đường tròn (tức r0 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm, và φ góc ngược chiều kim đồng hồ từ trục hoành đường thẳng đi qua tâm và gốc tọa độ). Với đường tròn có tâm ở gốc tọa độ, tức r0 = 0, thì được đơn giản hóa còn r = a. Khi r0 = a, hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành:

r = 2 a cos ⁡ ( θ − ϕ ) . {\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).\,}  

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cho r

r = r 0 cos ⁡ ( θ − ϕ ) ± a 2 − r 0 2 sin 2 ⁡ ( θ − ϕ ) , {\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}},}  

Chú ý rằng nếu không có dấu ±, trong một số trường hợp phương trình chỉ mô tả nửa đường tròn.

Mặt phẳng phức

Trong mặt phẳng phức, một đường tròn có tâm tại c và bán kính (r) có phương trình | z − c | = r {\displaystyle |z-c|=r\,}  . Ở dạng tham số hóa: z = r e i t + c {\displaystyle z=re^{it}+c}  .

Phương trình tổng quát p z z ¯ + g z + g z ¯ = q {\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}   cho các số thực p, q và số phức g đôi khi được gọi là đường tròn tổng quát. Phương trình này trở thành phương trình ở trên với p = 1 ,   g = − c ¯ ,   q = r 2 − | c | 2 {\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}  , vì | z − c | 2 = z z ¯ − c ¯ z − c z ¯ + c c ¯ {\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}  . Không phải đường tròn tổng quát nào cũng là đường tròn thực sự: đường tròn tổng quát hoặc là đường tròn thực sự hoặc là một đường thẳng.

Đường tiếp tuyến

Đường tiếp tuyến qua một điểm P trên đường tròn vuông góc đường kính đi qua P. Nếu P = (x1, y1) và đường tròn có tâm (a, b) và bán kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua (a, b) và (x1, y1), nên nó có dạng (x1 − a)x + (y1 – b)y = c. Tính với (x1, y1) xác định giá trị của c và kết quả phương trình của đường tiếp tuyến là:

( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = ( x 1 − a ) x 1 + ( y 1 − b ) y 1 {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}\,}  

hay

( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2 .   {\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\ }  

Nếu y1 ≠ b thì độ dốc của đường thẳng là

d y d x = − x 1 − a y 1 − b . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}  

Kết quả này cũng có thể được suy ra sử dụng đạo hàm hàm ẩn.

Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ thì phương trình tiếp tuyến là x 1 x + y 1 y = r 2 ,   {\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\!\ }  và độ dốc của nó là d y d x = − x 1 y 1 . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}  

d1/d2

Apollonius của Pergaeus chỉ ra rằng đường tròn còn có thể định nghĩa là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có tỉ số không đổi (khác 1) của khoảng cách tới hai tiêu điểm, A và B.[7][8] (Nếu tỉ số là 1 thì tập hợp ấy là đường trung trực của đoạn thẳng AB.)

Chứng minh gồm hai phần. Đầu tiên ta cần chứng minh, cho hai tiêu điểm A và B một tỉ số, bất kì điểm P thỏa mãn tỉ số phải nằm trên một đường tròn nhất định. Gọi C là một điểm thỏa mãn tỉ số và nằm trên đoạn thẳng AB. Từ định lý đường phân giác suy ra PC sẽ chia đôi góc trong APB:

A P B P = A C B C . {\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}  

Tương tự, đoạn thẳng PD qua điểm D trên đường thẳng AB chia đôi góc ngoài BPQ với Q nằm trên tia AP kéo dài. Do góc ngoài và góc trong bù nhau, góc CPD phải bằng 90 độ. Tập hợp các điểm P sao cho góc CPD là góc vuông tạo thành một đường tròn với CD là đường kính.

Thứ hai, xem [9]:tr.15 để chứng minh rằng các điểm trên đường tròn vừa tạo thỏa mãn tỉ số.

Tỉ số kép

Một tính chất của đường tròn liên quan đến hình học của tỉ số kép của các điểm trên mặt phẳng phức. Nếu A, B, và C cho như trên thì đường tròn của Apollonius của ba điểm là tập hợp các điểm P sao cho giá trị tuyệt đối của tỉ số kép bằng 1:

| ( A , B ; C , P ) | = 1.   {\displaystyle |(A,B;C,P)|=1.\ }  

Nói cách khác, P là điểm trên đường tròn của Apollonius khi và chỉ khi tỉ số kép (A,B;C,P) nằm trên đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức.

Đường tròn tổng quát

Nếu C là trung điểm của đoạn AB thì tập hợp các điểm P thỏa mãn điều kiện Apollonius

| A P | | B P | = | A C | | B C | {\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}  

không tạo thành một đường tròn mà thành một đường thẳng.

Vậy nên nếu A, B, C là các điểm phân biệt trên mặt phẳng thì quỹ tích điểm P thỏa mãn phương trình trên gọi là "đường tròn tổng quát". Nó có thể là một đường tròn hoặc một đường thẳng. Trong trường hợp này, một đường thẳng là một đường tròn tổng quát có bán kính vô hạn.

Trong mỗi tam giác, một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn nội tiếp nếu nó tiếp xúc với ba cạnh tam giác.[10]

Với mọi tam giác một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn ngoại tiếp, nếu nó đi qua ba đỉnh của tam giác.[11]

Một đa giác ngoại tiếp là một đa giác lồi bất kỳ mà một đường tròn có thể nội tiếp được và tiếp xúc với các cạnh của đa giác.[12] Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác ngoại tiếp.

Một đa giác nội tiếp, ví dụ tứ giác nội tiếp, là một đa giác lồi bất kỳ mà một đường tròn có thể bao quanh, đi qua tất các các đỉnh. Một trường hợp được nghiên cứu kỹ càng là tứ giác nội tiếp. Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác nội tiếp. Một đa giác vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp được gọi là đa giác lưỡng tâm.

Bất kỳ đa giác đều nào cũng đều có đúng 1 đường tròn ngoại tiếp và có đúng 1 đường tròn nội tiếp

Một đường cong hypocycloid là đường cong nằm trong một đường tròn, vẽ bằng cách theo dấu một điểm cố định trên một đường tròn nhỏ hơn lăn trong đường tròn đã cho và tiếp xúc với nó..

2 cạnh của góc ở tâm cắt nhau tại 2 điểm, chia đường tròn thành 2 cung:

• Phần cung nằm bên trong góc

  α {\displaystyle \alpha }  

  với

  0 ∘ < α < 180 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }}  

  được gọi là cung nhỏ. Số đo góc

  α {\displaystyle \alpha }  

  được gọi là số đo của cung nhỏ. Phần cung nhỏ này được gọi là cung bị chắn của góc ở tâm.
• Phần còn lại được gọi là cung lớn. Số đo của cung này bằng

  360 ∘ − α {\displaystyle 360^{\circ }-\alpha }  

Góc bẹt là góc ở tâm chắn nửa đường tròn. Số đo của nửa đường tròn là 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }}  

Khi 2 đầu của cung trùng nhau, ta có cung không có số đo 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }}   và cả đường tròn có số đo 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }}  

Trong cùng một đường tròn hoặc trong các đường tròn bằng nhau, 2 cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.

Cho điểm C nằm trên cung AB và chia cung AB thành 2 cung là cung AC và cung CB. Khi đó số đo của cung AB bằng tổng số đo cung AC và cung CB.

Góc nội tiếp

• Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
• Góc nội tiếp là góc nhọn hoặc góc vuông thì bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó.
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và nằm cùng phía với dây căng cung đó thì bằng nhau.
• Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung nằm khác phía với dây căng cung đó thì bù nhau.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (định lý Thales).

x A B ^ {\displaystyle {\widehat {xAB}}}  

y A B ^ {\displaystyle {\widehat {yAB}}}  

Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung là góc có 1 cạnh là dây của đường tròn, cạnh kia tạo bởi tia tiếp tuyến của đường tròn và đỉnh là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.

Số đo của góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng nửa số đo cung bị chắn.

Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó

Tính chất của góc có đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn

Số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn bằng nửa tổng số đo 2 cung bị chắn.

Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và chắn trên đường tròn đó 2 cung thì số đo của góc đó bằng nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn.

1. ^ krikos, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
2. ^ Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
3. ^ Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Tập 2, Chương 2, "Of Plato"
4. ^ Chronology for 30000 BC to 500 BC. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Truy cập 03-05-2013.
5. ^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Trụy cập 03-05-2013.
6. ^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (ấn bản 2), Addison Wesley Longman, tr. 108, ISBN 978-0-321-01618-8
7. ^ Harkness, James (1898). Introduction to the theory of analytic functions. London, New York: Macmillan and Co. tr. 30. Bản gốc lưu trữ ngày 7 tháng 3 năm 2009. Truy cập ngày 20 tháng 12 năm 2017.
8. ^ Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.
9. ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
10. ^ Incircle – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-21 tại Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.
11. ^ Circumcircle – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-20 tại Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.
12. ^ Tangential Polygon – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2013-09-03 tại Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.