Đề bài
Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng \[27\] và tổng các bình phương của chúng bằng \[275\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: \[u_n=u_1+[n-1]d\].
Lời giải chi tiết
Xét cấp số cộng \[u_1,u_2,u_3,...\] có công sai \[d > 0\]
Theo giả thiết ta có:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} + [{u_1} + d] + [{u_1} + 2d] = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {[{u_1} + d]^2} + {[{u_1} + 2d]^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 9 - d\,\,\,[1] \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275\,\,\,[2] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Thay \[u_1\] ở [1] vào [2] ta được:
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,3{\left[ {9 - d} \right]^2} + 6d\left[ {9 - d} \right] + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 243 - 54d + 3{d^2} + 54d - 6{d^2} + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4
\end{array}\]
Vì \[d > 0\] nên ta chỉ chọn \[d = 4, u_1= 5\]
Vậy cấp số cộng phải tìm là \[5, 9, 13, 17, ...\]
Cách khác:
Gọi ba số hạng đầu của CSC lần lượt là: \[x - d;x;x + d\] với \[d > 0\].
Theo bài ra ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x - d + x + x + d = 27\\{\left[ {x - d} \right]^2} + {x^2} + {\left[ {x + d} \right]^2} = 275\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 27\\{x^2} - 2dx + {d^2} + {x^2} + 2dx + {d^2} = 275\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\3{x^2} + 2{d^2} = 275\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\{d^2} = 16\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\d = 4\left[ {d > 0} \right]\end{array} \right.\]
Số hạng đầu là \[{u_1} = x - d = 9 - 4 = 5\].
Vậy CSC cần tìm có \[{u_1} = 5,d = 4\].