Cho 3 điểm A(0;1), B 12 năm C 35 đường thẳng nào sau đây cách đều 3 điểm ABC

§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ U được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu U * 0 và giá của U song song hoặc trùng A. Phương trình tham sô' của đường thẳng X = x0 + y = y0 + u2t (t e R) Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận U (Ui; u2) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham sô' của đường thẳng A là: u9 . Nêu Ui * 0 thì k = là hệ sô góc của A. U1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu n*0 và n vuông góc với vectơ ch? phương của A. Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: Nếu đường thẳng A có phương trình là ax + by + c = 0 thì A có vectơ pháp tuyến là n = (a; b) và vectơ chỉ phương là U = (-b; a). Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Đường thẳng A cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a, 0) và N(0; b) (với a * 0, b * 0) có phương trình là: + Ị = 1 a b VỊ trí tương đổi của hai đường thẳng ChoA,: aìX + b,y + c, = 0 A2: a2x + b2y + c2 = 0 A,, A2 cắt nhau A-I H A2 a1 b1 = 0 ai bi a2 b2 hoặc a2 b2 b1 Cl *0 C1 ai b2 c2 c2 a2 *0 , , a. bi A2 cat nhau -A. L Ai A2 o Trường hợp a2, b2, c2 đều khác 0, thì: . ai bi C1 A, // A2 L = -L TÍ ai bi C1 A( = A2 AA- = p- = -Al. a2 b2 c2 Góc giữa hai đưởng thẳng Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi (à số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b ta quy ước góc giữa chúng bằng 0° Cho A|: A,x + B^y + C-I = 0 và A2: A2X + B2y + c2 = 0 a là góc giữa A, và A2 thì cosa = I A4An + B.|B2 ị i'f2 1 A2+B2 = COS (rvnJ Đặc biệt: ả) 1A2o A,A2 + B,B2 = 0 Nếu Ai và A2 có phương trình y - k,x + m, và y = k2x + m2 thì Ai 1 A2 k1.k2 = - 1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0(x0; yo). Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng A, kí hiệu là d(M0,A). được tính bởi công thức: d(M0,A): Ti |ax0 +by0 + c| B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Lập phương trình tham sô' của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương u = (3; 4); d đi qua điểm M(-2; 3) và vectơ pháp tuyến là n = (5; 1). (ỹiắé Ta có: M(2; 1) và U = (3; 4). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ , , , " - fx = 2 + 3t chỉ phương u là: < [y = l + 4t M(-2; 3); vectơ pháp tuyến n = (5; 1) thì d có vectơ chỉ phương U = (1; -5) , f X = -2 + t Phương trình tham sô của d là: < [y = 3-5t Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau: A đi qua M(-5; -8) và có hệ sô góc k = -3; b) A đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5). ỹiắi Phương trình đường thẳng A đi qua M(-5; -8) có hệ sô' góc k = -3 là: y - yM = k(x - XM) y + 8 = -3(x + 5) 3x + y + 23 = 0 A có vectơ chỉ phương AB = (-6; 4) x , > » V - íx = 2 - 6t Phương trình tham sô của đường thắng A đi qua A và B là: < [y = l + 4t Khử t ta được: x -2 = y -1 2x + 3y - 7 - 0. 3. -6 4 Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2). Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA; Lập phương trình tổng quát cùa đường cao AH và trung tuyến AM. Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: X~*A = y-yA -5x + 5 = 2y - 8 o 5x + 2y - 13 = 0 XB-XA yB-yA 3-1 -1"4 Tương tự BC: X - y - 4 = 0; CA: 2x + 5y - 22 = 0 Đường cao AH đi qua A( 1; 4) vuông góc với BC nên AH: X + y + c = 0 AH qua A(l; 4) nên l + 4 + C = 0=>C = -5. Vậy phương trình đường cao AH: X + y - 5 = 0. M là trung điểm của BC thì M Phương trình trung tuyến AM: ^x+y-5 = 0. XA-XM yA-yM 4_i 2 2 Viết phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điểm N(0; -1). Áp dụng phương trình đoạn chắn. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M(4; 0) và N(0; -1) là 4 + = lo-x + 4y + 4 = 0 X - 4y - 4 = 0. 4-1 7 J Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng Ơ1 và d2 sau đày: df 4x - 10y + 1 = 0 và d2: X + y + 2 = 0; dt: 12x - 6y + 10 = 0 và d2: c = 5 + t_ [y = 3 + 2t d,:8x+ 10y - 12 = 0 và d2: jx = z6 + 5t ly = 6-4t 4 -10 Ta có nên di và d2 cắt nhau. 11 Phương trình t ,ng quát của d2 là: d2 : 2x - y - 7 = 0. _ , 12 -6 10 , .. , Ta có = nên di // d2. 2-1-7 Phương trình tổng quát của d2 là: d2: 4x + 5y - 6 = 0. , 8 _ 10 _ -12 . , _ , Ta có = = nên di = d2. IX 2 I 6. Cho đường thẳng d có phương trinh tham sô' 4 5-6 y = 3 + t Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5. ỹiẰi Ta có M(2 + 2t; 3 + t) e d và AM = 5 AM = 5 AM2 = 25 (2 + 2t)2 + (2 + t)2 = 25 5t2 + 12t - 17 = 0 » Vậy có hai điểm M thoả mãn đề bài là: Mi(4; 4); M2^-^;--|j. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng dt và ci2 lần lượt có phương trình dư4x-2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0. ỹiẦí Ta có dp 4x - 2y + 6 = 0 d2: X - 3y + 1 = 0. Gọi tp là góc giữa di và d2 có: costp = 10 _ 72 1072 - 2 |aia2+bib2| _ |4 + 6| _ 10 - VĩẽTĨ.TĩTõ " 72Õ.7ĨÕ Vậy: (p = 45°. A(3; 5), B(1;-2), C(1;2), Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: A: 4x + 3y + 1 =0; d: 3x - 4y - 26 = 0; m: 3x + 4y - 11 =0. Ta có A(3; 5) A: 4x + 3y + 1 = 0 Ta có C(l; 2) m: 3x + 4y - 11 = 0 d(C,m) , l ựgl- nl 0 . vậỵ c e m. 79 + 16 Tim bán kính của đường trồn tàm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng A: 5x+ 12y-10 = 0 ỹiải Bán kính đường tròn là khoảng cách từ c đến A. R g d(C, A) = 725 +144 13 44 Vậy R = c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có phương trinh cạnh AB là 6x - 3y + 2 = 0. Các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x - 3y + 1 = 0,7x + 2y - 22 = 0. Lập phương trình tổng quát hai cạnh AC, BC và đường cao qua c. rựcứcttỹ (tẩn Gọi H là trực tâm tam giác ABC: (A) = AB r\ AH => A(-l; -1) |B( = AB n HB => B(2; 4) AC: 2x - 7y - 5 - 0; BC: 3x + 4y - 22 = 0; CH: 3x + 5y - 23 = 0 Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4; -5) và hai đường cao có phương trình là: 5x + 3y - 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 Giả sử hai đường cao AH: 3x + 8y.+ 13 = 0; CK: 5x + 3y - 4 = 0 AB qua A và vuông góc với CK nên AB: 3x - 5y - 13 = 0 BC qua B và vuông góc với AH nên BC: 8x - 3y + 17 = 0 AC: 5x + 2y - 1 = 0 Cho ba trung điểm của ba cạnh của tam giác là: M, (2 ; 1), M2(5 ; 3), M3(3; -4). Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác. a) 2x + 3y + 1 =0 và 4x + 5y - 6 = 0; b) 4x - y + 2 = 0 và -8x + 2y + 1 =0; c) 3x - 2y + 1 =0 và -6x + 4y - 2 = 0. 5. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A(1; 3) và hai Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm. đường trung tuyến có phương trình là: X - 2y + 1 = 0 và y - 1 =0. Cho tam giác ABC, có trung điểm một cạnh là M(-1; 1) còn hai cạnh kia có phương trinh là X + y - 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. dẳtí Giả sử M là trung điểm BC, hai cạnh có phương trình đã cho là AB, AC. Xác định được A, các trung điểm p, Q của các cạnh AB và AC. Cho hình vuông đỉnh A(-4; 5) và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x - y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông. dẩti Đường chéo AC: X + 7y - 31 = 0 Đường thẳng AB hợp với đường chéo AC một góc 45°. Cho hai điểm P(2; 5) và Q(5; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua p sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3. ĩ)afitĩ: 7x + 24y 134 = 0. Cho tam giác ABC có diện tích bằng , hai đỉnh A(3; -3), B(3; -2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh c. Cho ba đường thẳng dư 3x + 4y - 6 = 0; d2: 4x + 3y - 1 = 0; d3: y = 0. Gọi A là giao điểm của d, và d2, {B} = d2 n d3; {C} = d, nd2 Viết phương trình phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp AABC. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; 1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d(: 2x - y + 5 = 0 và đ2: 3x + 6y - 1 =0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của dì và d2. 4».' 3x + y - 5 = 0; X - 3y - 5 = 0.