Các bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 9
|
Phân tích thành nhân tử. Câu 18 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 – Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Show
Phân tích thành nhân tử: a) \({x^2} – 7\); b) \({x^2} – 2\sqrt 2 x + 2\); c) \({x^2} + 2\sqrt {13} x + 13\). Gợi ý làm bài a) Ta có: Quảng cáo\(\eqalign{ & {x^2} – 7 = {x^2} – {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr & = \left( {x + \sqrt 7 } \right)\left( {x – \sqrt 7 } \right) \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & {x^2} – 2\sqrt 2 x + 2 \cr & = {x^2} – 2.x.\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr & = {\left( {x – \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \) c) Ta có: \(\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt {13} x + 13 \cr & = {x^2} + 2.x.\sqrt {13} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} \cr & = {\left( {x + \sqrt {13} } \right)^2} \cr} \) VnDoc xin giới thiệu tới các em 8 cách phân tích đa thức thành nhân tử. Với các dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là dạng bài thường gặp ở toán lớp 8, không những thế nó là dạng toán căn bản để học sinh học nâng cao các lớp sau này nên các em lưu ý học thật kỹ tránh để mất gốc. Tài liệu dưới đây nhằm giúp các em nắm chắc kiến thức cũng như ôn lại kiến thức căn bản cho các em, các em cùng tham khảo nhé
Phân tích đa thức thành nhân tử
1. Phương pháp đặt nhân tử chungTrong biểu thức bài toán cho, chúng ta cần lựa chọn ra những ẩn số hay hằng của một số biểu thức nhất định là ước chung và chọn chúng làm nhân tử. Để dễ hiểu chúng ta có như sau: A.B + C.B - B.Q=B.(A + C-Q) Mấu chốt của vấn đề là làm thế nào chúng ta phải đưa được biểu thức đã cho về dạng tích của nhiều đa thức. Bởi nhiều bạn mới học, cũng bảo đặt nhân tử chung nhưng khi xem kết quả thì chưa tồn tại dạng tích mà vẫn ở dạng tổng. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.  2. Phương pháp dùng hằng đẳng thứcỞ phương pháp này các bạn cần vận dụng linh hoạt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. a. 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tửDùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm. Thường sau khi nhóm chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đắng thức để làm tiếp. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
4. Phương pháp táchTa có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử. 5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tửTa có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được. Ví dụ 6. Phương pháp đặt biến phụTrong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp. Ví dụ: Đặt: Ta có: 7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa8. Phương pháp hệ số bất địnhII. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tửBài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x - 6y; b) c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2; d) e) 10x(x - y) - 8y(y - x). * Lời giải bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: a) 3x - 6y = 3(x-2y) b) c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy) d) e) 10x(x - y) - 8y(y - x) - Ta thấy: y - x = –(x – y) nên ta có: 10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y[-(x - y)] =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y) Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức a) 15.91,5 + 150.0,85; b) x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2001 và y = 1999. * Lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: - Lưu ý: Với dạng bài tập này chúng ta cần phân tích hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử trước khi tính giá trị. a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500. b) x(x - 1) - y(1 - x) - Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) nên ta có: x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y[-(x-1)] =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y) - Thay x = 2001 và y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000 Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết: a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0; b) x3 – 13x = 0 * Lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0 ⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0 ⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0 - Kết luận có 2 giá trị x thoả mãn là x = 2000 và x = 1/5. b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0 - Kết luận: Có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13. Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên) * Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: - Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54 - Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên. ⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54. Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2 c) * Lời giải bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1: a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2 b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25) = –[(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2] = –(x–5)2 c) d) Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) c) (a + b)3 + (a – b)3 ; d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 e) - x3 + 9x2 – 27x + 27. * Lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: a) b) (a + b)3 – (a – b)3 = [(a + b) – (a – b)] . [(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2] = (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2) = 2b.(3a2+ b2) c) (a + b)3 + (a – b)3 = [(a + b) + (a – b)] . [(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2] = [(a + b) + (a – b)] . [(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)] = (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2) = 2a.(a2 + 3b2) d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3 Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết: a) 2 - 25x2 = 0 b) * Lời giải bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: a) - Kết luận: vậy có 2 nghiệm thoả là b) - Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2. Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22 * Lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600 b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200 c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000 Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x2 –xy + x – y b) xz + yz – 5(x + y) c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y * Lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: a) x2 – xy + x – y +) Cách 1: Nhóm hai hạng tử thứ 1 và thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1) +) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y) b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5) c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y +) Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau: 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5) +) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4: 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y). Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 4x –y2 + 4 b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 * Lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: a) x2 + 4x – y2 + 4 [ta thấy x2 + 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức] = (x2 + 4x + 4) – y2 [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2] = (x + 2)2 – y2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2] = (x + 2 – y)(x + 2 + y) b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 = 3.(x2 + 2xy + y2 – z2) [ta thấy x2 + 2xy + y2 có dạng hằng đẳng thức] = 3[(x2 + 2xy + y2) – z2] [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2] = 3[(x + y)2 – z2] [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2] = 3(x + y – z)(x + y + z) c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 [ta thấy x2 – 2xy + y2 và z2 – 2zt + t2 có dạng hằng đẳng thức) = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2] = (x – y)2 – (z – t)2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2] = [(x – y) – (z – t)][(x – y) + (z – t)] = (x – y – z + t)(x – y + z –t) Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 * Lời giải bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 - Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2. b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 ⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0 ⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0 - Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5. Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – 2x2 + x. b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 c) 2xy – x2 – y2 + 16 * Lời giải bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: a) x3 – 2x2 + x = x.x2 – x.2x + x.1 [nhân tử chung là x] = x(x2 – 2x + 1) [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)2] = x(x – 1)2 b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 [nhân tử chung là 2] = 2.(x2 + 2x + 1 – y2) [ta thấy x2 + 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức] = 2[(x2 + 2x + 1) – y2] = 2[(x + 1)2 – y2] [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2] = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) c) 2xy – x2 – y2 + 16 [ta thấy x2 ; y2 ; 2xy có liên hệ tới hằng đẳng thức] = 16 – (x2 – 2xy + y2) [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)2] = 42 – (x – y)2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2] = [4 – (x – y)][4 + (x + y)] = (4 – x + y)(4 + x – y). Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. * Lời giải bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: - Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4) - Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ. ⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 3x + 2 b) x2 + x – 6 c) x2 + 5x + 6 (Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp. Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp) * Lời giải bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: a) x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 [tách –3x = – x – 2x] = (x2 – x) – (2x – 2) = x(x – 1) – 2(x – 1) [có x – 1 là nhân tử chung] = (x – 1)(x – 2) Hoặc: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x – 4 + 6 [tách 2 = – 4 + 6] = x2 – 4 – 3x + 6 = (x2 – 22) – 3(x – 2) = (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) [xuất hiện nhân tử chung x – 2] = (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1) b) x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6 [tách x = 3x – 2x] = x(x + 3) – 2(x + 3) [có x + 3 là nhân tử chung] = (x + 3)(x – 2) c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x) = x2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) [có x + 2 là nhân tử chung] = (x + 2)(x + 3) III. Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử - Học sinh tự luyện tập Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) x2 - y2 - 2x + 2y 2) 2x + 2y - x2 - xy 3) x2 - 25 + y2 + 2xy 4) x2 - 2x - 4y2 - 4y 5) x2y - x3 - 9y + 9x 6) x2(x -1) + 16(1- x) Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x) 2) x3 + x2y – 4x – 4y 3) 3(x+ 4) – x2 – 4x 4) x3 – 3x2 + 1 – 3x 5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y 6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2 7) x2 – xy + x – y 8) x2 – 2x – 15 Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) 2x2 + 3x – 5 2) x2 + 4x – y2 + 4 3) 2x2 – 18 4) x3 – x2 – x + 1 5) x2 – 7xy + 10y2 6) x4 + 6x2y + 9y2 - 1 7) x3 – 2x2 + x – xy2 8) ax – bx – a2 + 2ab – b2 Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) x4y4 + 4 2) x7 + x2 + 1 3) x4y4 + 64 4) x8 + x + 1 5) x8 + x7 + 1 6) 32x4 + 1 7) x8 + 3x4 + 1 8) x4 + 4y4 9) x10 + x5 + 1 Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3 4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3 7) x4 – 13x2 + 36 8) x4 + 3x2 – 2x + 3 9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8 6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12 8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8 9) x3 + 9x2 + 26x + 24 Bài tập 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 9) 4(x2 + 15x + 50) - (x2 + 18x + 74) – 3x2 Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 8. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất. 8 cách phân tích đa thức thành nhân tử được VnDoc chia sẻ trên đây. Với tài liệu này giúp các em ôn tập và rèn luyện các dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử khác nhau, từ đó nâng cao kỹ năng giải bài và làm bài Toán lớp 8. Chúc các em học tốt, nếu thấy tài liệu hữu ích hãy chia sẻ cho các bạn cùng tham khảo nhé ................................... Ngoài 8 cách phân tích đa thức thành nhân tử cực hay, các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi, học kì 1 lớp 8, học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Soạn bài lớp 8, Soạn Văn Lớp 8 (ngắn nhất) mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi lớp 8 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt
|
