Đề bài - bài 75 trang 106 sgk toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình chữ nhật \[ABCD\] có \[E,F,G,H\] lần lượt là trung điểm của \[AB,BC,CD,DA\]

Bốn tam giác vuông \[EAH, EBF, GDH, GCF\] có:

\[AE = BE = DG = CG\] [ = \[\dfrac{1}{2}AB\] = \[\dfrac{1}{2}CD\] ]

\[HA = FB = DH = CF\] [ = \[\dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC\] ]

Xét\[EAH\] và\[EBF\] có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
A{\rm{E}} = BE\left[ {cmt} \right]\\
\widehat A = \widehat B = {90^0}\left[ {gt} \right]\\
AH = BF\left[ {cmt} \right]
\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \Delta AHE = \Delta BEF\left[ {c - g - c} \right]\]

\[ \Rightarrow \] \[EH = EF \] [2 cạnh tương ứng] [1]

Xét\[HDG\] và\[FCG\] có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
H{\rm{D}} = FC\left[ {cmt} \right]\\
\widehat D = \widehat C = {90^0}\left[ {gt} \right]\\
DG = CG\left[ {cmt} \right]
\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \Delta HDG = \Delta FCG\left[ {c - g - c} \right]\]

\[ \Rightarrow \] \[GH = GF \] [2 cạnh tương ứng] [2]

Xét\[AHE\] và\[DHG\] có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
H{\rm{A}} = HD\left[ {cmt} \right]\\
\widehat A = \widehat D = {90^0}\left[ {gt} \right]\\
AE = DG\left[ {cmt} \right]
\end{array} \right. \]

\[\Rightarrow \Delta AHE = \Delta DHG\left[ {c - g - c} \right]\]

\[ \Rightarrow \] \[EH = HG \] [2 cạnh tương ứng] [3]

Từ [1], [2] và [3] \[ \Rightarrow HE=EF = HG = GF\]

\[ \Rightarrow \] \[EFGH\] là hình thoi [dấu hiệu nhận biết hình thoi].

[Trong đó: "cmt" là chứng minh trên]

Cách khác:

* Xét tam giác \[ABD\] có \[E\] và \[H\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AD\]

Suy ra \[EH\] là đường trung bình của tam giác

Từ đó \[EH=\dfrac{BD}2\] [*]

Chứng minh tương tự ta có:\[GF=\dfrac{BD}2\],\[EF=\dfrac{AC}2\],\[HG=\dfrac{AC}2\] [**]

Vì \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[AC=BD\] [***] [tính chất]

Từ [*], [**], [***] ta suy ra \[EH=EF=HG=GF\]

\[ \Rightarrow \] \[EFGH\] là hình thoi [dấu hiệu nhận biết hình thoi].