Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[0;2], B[-2;-2] và C[4;-2]. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tọa độ điểm \[M,N,H\].
- Gọi phương trình đường tròn \[{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\].
- Thay tọa độ các điểm \[H,M,N\] vào phương trình tìm \[a,b,c\] và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có \[M\left[ { - 1;0} \right],N\left[ {1; - 2} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {4; - 4} \right]\] .
Giả sử \[H\left[ {x;y} \right]\]. Ta có :
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\H \in AC\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4[x + 2] - 4[y + 2] = 0\\4x + 4[y - 2] = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left[ {1;1} \right].\]
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:
\[{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,[1].\]
Thay tọa độ của M, N, H vào [1] ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}2a - c = 1\\2a - 4b + c = - 5\\2a + 2b + c = - 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{2}\\c = - 2.\end{array} \right.\]
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \[{x^2} + {y^2} - x + y - 2 = 0\].