Đề bài
Lập phương trình của đường tròn \[\left[ C \right]\] tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua \[M[4;2]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi dạng của phương trình đường tròn \[\left[ C \right]\] tiếp xúc với cả \[Ox\] và \[Oy\] là \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - a} \right]^2} = {a^2}\]
Lời giải chi tiết
Gọi tâm \[I\left[ {a;b} \right]\]
\[\left[ C \right]\] tiếp xúc với hai trục tọa độ \[ \Leftrightarrow d\left[ {I,Ox} \right] = d\left[ {I,Oy} \right]=R\] \[ \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\\b = - a\end{array} \right.\]
Do \[\left[ C \right]\] đi qua \[M\left[ {4;2} \right]\] nên \[\left[ C \right]\] nằm ở góc phần tư thứ nhất hay \[R=b = a > 0\].
Phương trình của \[\left[ C \right]\] có dạng \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - a} \right]^2} = {a^2}\], ta có:
\[M \in \left[ C \right]\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {4 - a} \right]^2} + {\left[ {2 - a} \right]^2} = {a^2}\] \[ \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 10\end{array} \right.\]
Với \[a = 2 \] \[\Rightarrow \left[ {{C_1}} \right]:{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 4\].
Với \[a = 10 \] \[\Rightarrow \left[ {{C_2}} \right]:{\left[ {x - 10} \right]^2} + {\left[ {y - 10} \right]^2} = 100\]