Đề bài
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng
\[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: \[\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} =2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \] [bđt Cô si cho hai số dương \[\frac{1}{a},\frac{1}{b}\]]
\[a + b \ge 2\sqrt {ab} \] [bđt Cô si cho hai số dương \[a,b\]]
Suy ra
\[[a + b][\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}] \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{ab}}} .2\sqrt {ab} \] \[= 4.\sqrt {\frac{1}{{ab}}.ab} = 4\]
\[\Rightarrow \left[ {a + b} \right]\left[ {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right] \ge 4\]
hay \[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\].