Đề bài
Trong mặt phẳng tọa đọ Oxy hãy tìm tọa độ các đỉnh M, N của hình vuông AMBN, biết tọa độ hai đỉnh A[1; 1] và B[3; 5].
Lời giải chi tiết
Giả sử M[x; y] là đỉnh của hình vuông AMBN.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM} } \right|\\\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BM} \end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = B{M^2}\\\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\end{array} \right.\]
\[A{M^2} = B{M^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2}\] \[ = {\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1\] \[ = {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 10y + 25\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8y = 32\\ \Leftrightarrow x + 2y = 8\\ \Leftrightarrow x = 8 - 2y\end{array}\]
\[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 3} \right]\] \[ + \left[ {y - 1} \right]\left[ {y - 5} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 + {y^2} - 6y + 5 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 8 = 0\]
Thay \[x = 8 - 2y\] vào pt ta được:
\[{\left[ {8 - 2y} \right]^2} + {y^2} - 4\left[ {8 - 2y} \right] \] \[- 6y + 8 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 4{y^2} - 32y + 64 + {y^2}\] \[ - 32 + 8y - 6y + 8 = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{y^2} - 30y + 40 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 4 \Rightarrow x = 0\\y = 2 \Rightarrow x = 4\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy M[4; 2], N[0; 4] hoặc M[0; 4], N[4; 2].