Đề bài
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có một đỉnh là O, diện tích bằng 12 và đường tròn ngoại tiếp [T] của có có phương trình là \[{\left[ {x - \frac{5}{2}} \right]^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}\] . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Đường tròn [T] có tâm \[I\left[ {\frac{5}{2};0} \right]\] và bán kính \[R = \frac{5}{2}\] .
\[\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} = \left[ {5;0} \right]\] suy ra B[5 ; 0]. Đặt A[x ; y] ta có hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}{\left[ {x - \frac{5}{2}} \right]^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}\\\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left[ {5 - x} \right]}^2} + {y^2}} = 12\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = \frac{{25}}{4} - {\left[ {x - \frac{5}{2}} \right]^2}\\\left[ {{x^2} + 5x - {x^2}} \right]\left[ {{{\left[ {5 - x} \right]}^2} + 5x - {x^2}} \right] = 144\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 5x - {x^2}\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{9}{5}\\y = \frac{{16}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Vậy ta được \[A\left[ {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\] , \[C\left[ {\frac{6}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right]\]
Hoặc \[A\left[ {\frac{9}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right]\] , \[C\left[ {\frac{6}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\] .