Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA [ABCD].
a] Chứng minh BD SC.
b] Chứng minh [SAB] [SBC].
c] Cho SA = [a6]/3. Tính góc giữa SC và mặt phẳng [ABCD].
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[BD \bot AC\] [ABCD là hình vuông]
\[SA \bot \left[ {ABCD} \right] \Rightarrow SA \bot BD\]
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow BD \bot \left[ {SAC} \right] \Rightarrow BD \bot SC\]
b] Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SAB} \right]\]
Mà \[BC \subset \left[ {SBC} \right]\] nên \[\left[ {SBC} \right] \bot \left[ {SAB} \right]\].
c] Vì \[SA \bot \left[ {ABCD} \right]\] nên A là hình chiếu của S trên [ABCD].
Mà \[SC \cap \left[ {ABCD} \right] = C\] nên AC là hình chiếu của SC trên [ABCD]
Do đó góc giữa SC và [ABCD] bằng góc giữa SC và AC hay là góc \[\widehat {SCA}\].
Ta có: \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \]
Tam giác SAC vuông tại A nên \[\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} \] \[= \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}:a\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\] \[ \Rightarrow \widehat {SCA} = {30^0}\].