- 4.13
- 4.14
- 4.15
- 4.16
- 4.17
Chọn đáp án đúng:
4.13
Giới hạn của dãy số [un] với \[{u_n} = {\left[ { - 1} \right]^n}\] là:
A. 0 B. 1
C. -1 D. Không tồn tại
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{u_n} = \left\{ \begin{array}{l}1\,neu\,n = 2k\\ - 1\,neu\,n = 2k + 1\end{array} \right.\]
Do đó, không thể xảy ra trường hợp un a hoặc un ± khi n +.
Nói cách khác, dãy đã cho không có giới hạn.
Chọn đáp án:D
4.14
\[\lim \dfrac{{{{\left[ {2 - 3n} \right]}^2}\left[ {n + 1} \right]}}{{1 - 4{n^3}}}\] bằng:
A. 3/4 B. 0 C. 9/4 D. -9/4
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho n3.
Lời giải chi tiết:
Cách tự luận:
\[\lim \dfrac{{{{\left[ {2 - 3n} \right]}^2}\left[ {n + 1} \right]}}{{1 - 4{n^3}}}\]\[ = \lim \dfrac{{{{\left[ {n\left[ {\dfrac{2}{n} - 3} \right]} \right]}^2}.n\left[ {1 + \dfrac{1}{n}} \right]}}{{{n^3}\left[ {\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4} \right]}}\] \[ = \lim \dfrac{{{n^3}{{\left[ {\dfrac{2}{n} - 3} \right]}^2}\left[ {1 + \dfrac{1}{n}} \right]}}{{{n^3}\left[ {\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4} \right]}}\]
\[ = \lim \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{2}{n} - 3} \right]}^2}\left[ {1 + \dfrac{1}{n}} \right]}}{{\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4}}\] \[ = \dfrac{{{{\left[ {0 - 3} \right]}^2}\left[ {1 + 0} \right]}}{{0 - 4}} = \dfrac{{ - 9}}{4}\]
Cách trắc nghiệm: Tử số và mẫu số là các đa thức cùng bậc, có hệ số của số hạng bậc cao nhất tương ứng là 9 và -4.
Vậy giới hạn bằng [-9]/4.
Chọn đáp án:D
4.15
\[\lim \left[ {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right]n\] bằng:
A. 0 B. -3 C. -3/2 D. +
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách nhân và chia với biểu thức liên hợp của \[\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} \] [chính là \[\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} \]]
Lời giải chi tiết:
\[\lim \left[ {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right]n\]
\[\begin{array}{l} = \lim \dfrac{{\left[ {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right]\left[ {\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} } \right]n}}{{\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} }}\\ = \lim \dfrac{{\left[ {{n^2} - 1 - {n^2} - 2} \right].n}}{{\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3n}}{{\sqrt {{n^2}\left[ {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right]} + \sqrt {{n^2}\left[ {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right]} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3n}}{{n\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} + n\sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {1 + 0} + \sqrt {1 + 0} }} = - \dfrac{3}{2}\end{array}\]
Chọn đáp án:C
4.16
Nếu S = 1 + 0,9 + [0,9]2+ [0,9]3+ ... + [0,9]n-1+ ... thì:
A. S = 10 B. S = 2
C. S = + D. Không thể tính được S
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\].
Lời giải chi tiết:
Tổng \[S\] là tổng CSN lùi vô hạn có \[{u_1} = 1,q = 0,9\]
Vậy \[S = \dfrac{1}{{1 - 0,9}} = 10\].
Chọn đáp án:A
4.17
\[\lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}}\] bằng:
A. 0 B. + C. - D. -4/3
Phương pháp giải:
Chia tử số và mẫu số cho 4n.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}}\\ = \lim \dfrac{{{4^n}\left[ {\dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}} \right]}}{{{4^n}\left[ {\dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}} + \dfrac{{{2^n}}}{{{4^n}}}} \right]}}\\ = \lim \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{{{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]}^n} + {{\left[ {\dfrac{2}{4}} \right]}^n}}}\end{array}\]
Vì \[\lim \left[ {{{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}} \right]\] \[ = 0 - 1 - 0 = - 1 < 0\] và \[\lim \left[ {{{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]}^n} + {{\left[ {\dfrac{2}{4}} \right]}^n}} \right] = 0 + 0 = 0\] và \[{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]^n} + {\left[ {\dfrac{2}{4}} \right]^n} > 0\] nên \[\lim \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{{{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]}^n} + {{\left[ {\dfrac{2}{4}} \right]}^n}}} = - \infty \]
Vậy \[\lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}} = - \infty \].
Chọn đáp án:C