Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] và đường trung tuyến \[BM\]. Trên đoạn thẳng \[BM\] lấy điểm \[D\] sao cho \[\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DM}} = \dfrac{1}{2}\]. Tia \[AD\] cắt \[BC\] ở \[K\]. Tìm tỉ số diện tích của tam giác \[ABK\] và tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Định lí:trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 3.
- Công thức tính diện tích tam giác.
Lời giải chi tiết
[h.115]
Kẻ \[ME//AK\left[ {E \in BC} \right]\] [h.115]
Theo định lý Ta-lét, trong tam giác \[BME\], ta có: \[\dfrac{{BK}}{{KE}} = \dfrac{{BD}}{{DM}} = \dfrac{1}{2}\]
Suy ra \[KE = 2BK.\]
\[M\] là trung điểm của \[AC\] và \[ME//AK\] nên \[E\] là trung điểm của \[KC\].
Ta có: \[EC = KE = 2BK\]
Do đó \[BC = BK + KE + EC = 5BK,\] suy ra \[\dfrac{{BK}}{{BC}} = \dfrac{1}{5}\]
Vậy \[\dfrac{{{S_{ABK}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{BK}}{{BC}} = \dfrac{1}{5}\] [Hai tam giác \[ABK\] và \[ABC\] có chung đường cao hạ từ \[A\]]