Bài 95 trang 141 sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

LG a

Viết phương trình mp(ABC) và mp(ABC). Tính cosin của góc giữa 2 mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là \({x \over 2} + {y \over 3} + {z \over 3} = 1\) nên có phương trình tổng quát là:

\(3x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {A'B'C} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là \({x \over 6} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1\) nên có phương trình tổng quát \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right).\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có

\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = {{\left| {6 + 6 + 6} \right|} \over {\sqrt {17} .\sqrt {22} }} = {{18} \over {\sqrt {374} }}.\)

LG b

Viết phương trình giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng mp(ABC) và mp (ABC). Tính khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải chi tiết:

Gọi A là giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C} \right).\) Điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) \in \Delta \) nên toạ độ của M là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \matrix{ 3x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr 2x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0. \hfill \cr} \right.\)

Cho \(z = 0,\) ta tính được \(x = - {6 \over 5},y = {{24} \over 5}.\)

Vậy điểm \(I\left( { - {6 \over 5};{{24} \over 5};0} \right)\) thuộc \(\Delta \) và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là

\(\overrightarrow {{u_\Delta }} = {1 \over 5}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right).\)

Gọi d là khoảng cách từ O tới \(\Delta \), ta có : \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}.\)

Vì \(\overrightarrow {OI}\left( { - {6 \over 5};{{24} \over 5};0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {{{24} \over 5};{6 \over 5};{6 \over 5}} \right)\) nên \(d\left( {O;\Delta } \right) = {{\sqrt {{{\left( {{{24} \over 5}} \right)}^2} + {{\left( {{6 \over 5}} \right)}^2} + {{\left( {{6 \over 5}} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = {{18} \over 5}.\)

LG c

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng. Xác định tọa độ H.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \(G = \left( {{2 \over 3};1;1} \right).\) Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(\overrightarrow {n'} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3\overrightarrow {OG} .\) Vậy đường thẳng OG vuông góc với mp\(\left( {A'B'C'} \right)\).

Mặt khác, tứ diện OA'B'C' vuông tại O nên trực tâm H' của tam giác A'B'C' là hình chiếu vuông góc của O trên mp\(\left( {A'B'C'} \right)\). Do đó, O, G, H' thẳng hàng.

Để xác định toạ độ của H', ta giải hệ

\(\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = 3t \hfill \cr z = 3t \hfill \cr 2x + 3y + 3z - 12 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow t = {6 \over {11}} \Rightarrow H' = \left( {{{12} \over {11}};{{18} \over {11}};{{18} \over {11}}} \right).\)

LG d

Gọi O là điểm đối xứng của O qua mặt phẳng (ABC). Điểm O có thuộc mp(ABC) không?

Lời giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). Toạ độ của H thoả mãn hệ

\(\left\{ \matrix{ x = 3t \hfill \cr y = 2t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr 3x + 2y + 2z - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow t = {6 \over {17}} \Rightarrow H = \left( {{{18} \over {17}};{{12} \over {17}};{{12} \over {17}}} \right).\)

Gọi O' là điểm đối xứng của O qua mp(ABC). Vì H là trung điểm của OO' nên \(O'{\rm{ }} = \left( {{{36} \over {17}};{{24} \over {17}};{{24} \over {17}}} \right).\)

Thay toạ độ của O' vào phương trình mp(A'B'C'), ta thấy không thoả mãn, vậy O' không thuộc mp(A'B'C').

LG e

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, A, B, C. Chứng minh rằng mặt cầu đó cũng đi qua B và C.

Lời giải chi tiết:

Giả sử (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\rm{ }}{z^2} + 2ax + {\rm{ }}2by + {\rm{ }}2cz + {\rm{ }}d{\rm{ }} = 0.\)

Vì \(A,A',{\rm{ }}B,C \in \left( S \right)\) nên ta có hệ:

\(\left\{ {\matrix{ \matrix{ 4{\rm{ }} + 4a + d{\rm{ }} = 0{\rm{ }} \hfill \cr 36{\rm{ }} + {\rm{ }}12a + {\rm{ }}d = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \hfill \cr {9{\rm{ }} + 6b + d{\rm{ }} = 0} \hfill \cr {9{\rm{ }} + 6c + d = {\rm{ }}0} \hfill \cr } } \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = - 4 \hfill \cr b = c = - {7 \over 2} \hfill \cr d = 12. \hfill \cr} \right.\)

Vậy (S) có phương trình : \({x^2} + {y^2} + {\rm{ }}{z^2} - 8x - 7y - 7z + {\rm{ }}12{\rm{ }} = 0.\)

(S) có tâm \(K = \left( {4;{7 \over 2};{7 \over 2}} \right)\) và \(R = {{\sqrt {114} } \over 2}.\)

Toạ độ B', C' cũng thoả mãn (S) nên mặt cầu (S) cũng đi qua B', C'.

LG g

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng tọa độ (Oxy).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình \(\;z + {\rm{ }}D{\rm{ }} = 0\;(D{\rm{ }} \ne 0).\) Khi đó \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d\left( {K,\left( \alpha \right)} \right) = R\)

Vậy có hai mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mp(Oxy) là:

\(z - {7 \over 2} \pm {{\sqrt {114} } \over 2} = 0\) .