Hướng dẫn giải bài tập truy hồi
Hướng dẫn học sinh các vấn đề nâng cao về việc xác định công thức tổng quát cho những bài dãy số đã xác định công thức truy hồi để ứng dụng làm các dạng toán về dãy số khác có liên quan. Hướng dẫn học sinh các vấn đề nâng cao về việc xác định công thức tổng quát cho những bài dãy số đã xác định công thức truy hồi để ứng dụng làm các dạng toán về dãy số khác có liên quan. Chuyên đề: Xác định công thức tổng quát của dãy số bằng công thức truy hồi (Phần I)
1. Cấp số cộng
2. Cấp số nhân
II. Công thức tổng quát của một số dãy có công thức truy hồi đặc biệt Dạng 1: Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right):{{u}_{1}}={{x}_{0}},\text{ }{{u}_{n}}=a{{u}_{n-1}}+b\text{ }\left( a,b\ne 0 \right)\] có công thức tổng quát là:
Chứng minh: Nếu a=1 thì dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng có công sai d=b nên \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)b\] . Nếu \[a\ne 1\], ta viết \[b=\frac{ab}{a-1}-\frac{b}{a-1}\]. Khi đó: \[{{u}_{n}}+\frac{b}{a-1}=a\left( {{u}_{n-1}}+\frac{b}{a-1} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}+\frac{b}{a-1}={{a}{n-1}}\left( {{u}_{1}}+\frac{b}{a-1} \right)\]. Từ đây ta có \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{a}{n-1}}+b\frac{{{a}^{n-1}}-1}{a-1}\]. Dạng 2: Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được xác định bởi \[{{u}_{1}}={{x}_{0}};{{u}_{n}}=a.{{u}_{n-1}}+f\left( n \right)\] trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n thì công thức tổng quát của dãy là \[{{u}_{n}}=\left( {{u}_{1}}-g\left( 1 \right) \right).{{a}^{n-1}}+g\left( n \right)\].
Chứng minh:
Dạng 3: Cho dãy .png) thì ta có công thức tổng quát của dãy là:
Chứng minh:
Dạng 4: Công thức tổng quát dãy .png). Trong đó f(n) là đa thức theo n bậc k, ta phân tích \[{{\alpha }^{n}}\] và f(n) như cách phân tích ở dạng 2 và dạng 3.
Câu 1: Xác định công thức tổng quát của dãy : \[{{u}_{1}}=-2,{{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}-1\] Lời giải: Ta thấy đây là dạng 1. Nên áp dụng công thức ta có \[{{u}_{n}}=-\frac{5}{2}{{.3}^{n}}+\frac{1}{2}\] Câu 2: Xác định công thức tổng quát của dãy: \[{{u}_{1}}=2;{{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}+3n-1\] Lời giải: Ta thấy đây là dạng 2, áp dụng công thức ta có \[{{u}_{n}}={{5.2}^{n}}-3n-5\] Câu 3: Xác định công thức tổng quát của dãy \[{{u}_{1}}=1;{{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}+{{2}^{n}}\] Lời giải: Ta có: \[{{2}{n}}=a{{.2}{n}}-3\text{a}{{.2}{n-1}}\]. Cho n=1, có a=-2\[\Rightarrow {{2}{n}}=-{{2.2}{n}}+{{3.2.2}{n-1}}\Rightarrow {{u}_{n}}+{{2.2}{n}}=3\left( {{u}_{n-1}}+{{2.2}{n-1}} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{5.3}{n-1}}-{{2}{n+1}}\]. Hoặc áp dụng công thức đa xây dựng ta cũng được kết quả như trên. Câu 4: Xác định công thức tổng quát của dãy: \[{{u}_{1}}=-2;{{u}_{n}}=5{{u}_{n-1}}+{{2.3}{n}}-{{6.7}{n}}+12\] Lời giải: Ta thấy đây là dạng 4. Ta có: .png)cho n=1, ta được .png). Nên \[{{u}_{n}}+{{3.3}{n}}+{{21.7}{n}}+3=5\left( {{u}_{n-1}}+{{3.3}{n-1}}+{{21.7}{n-1}}+3 \right)\]\[\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{5}{n-1}}\left( {{u}_{1}}+9+147+3 \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{157.5}{n-1}}-{{3}{n+1}}-{{3.7}{n+1}}-3\]. Câu 5: Xác định công thức tổng quát của dãy \[{{u}_{1}}=1;{{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}+{{3}^{n}}-n\] Lời giải: Ta phân tích .png) nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau \[{{u}_{n}}-{{3.3}{n}}-n-2=2\left( {{u}_{n-1}}-{{3.3}{n-1}}-\left( n-1 \right)-2 \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}-{{3.3}{n}}-n-2={{2}{n-1}}\left( {{u}_{1}}-12 \right)\]. Vậy \[{{u}_{n}}=-{{11.2}{n-1}}+{{3}{n+1}}+n+2\] |