Bài toán tính tổng của nhị thức niutown năm 2024
|
Bài viết dưới đây giới thiệu đến các bạn các bài toán nhị thức niu tơn tính tổng. Ở phần nhị thức Newton nâng cao các bạn sẽ gặp các bài toán tính tổng “dài dài” có chứa ký hiệu số tổ hợp khá “loằng ngoằng”. Vậy làm sao để làm được các bài đó. Các bạn hãy đọc bài viết dưới đây để tham khảo nhé! Show Trước tiên chúng ta cần nhớ các công thức thường được sử dụng. I. NHỊ THỨC NIU TƠN TÍNH TỔNG LIÊN QUAN ĐẾN KHAI TRIỂNThông thường chúng ta tìm một khai triển (có ẩn) phù hợp sau đó thay ẩn bằng số phù hợp để tính. Việc chọn khai triển phù hợp có thể có trong đề bài. Nếu không thì phải dựa nhiều vào kinh nghiệm giải dạng toán này để đoán. Ví dụ 1: Lời giải Qua ví dụ trên ta có thể rút ra nhận xét: Muốn tính tổng các hệ số trong khai triển chứa ẩn x thì ta chỉ việc cho x=1. Còn nếu trong tổng các hệ số đan dấu thì ta cho x=-1. Trong trường hợp đề bài không gợi ý cho chúng ta khai triển nào thì chúng ta cần đoán khai triển đó. Có những bài chúng ta cần dùng thêm công thức đóng khung ở đầu bài viết này. Ví dụ 2: Lời giải Nhận xét: Trong đề bài ta thấy “dáng dấp” khai triển lũy thừa bậc n của (1+x). Ta thực hiện khai triển và thay số 2 hoặc -2 vào sẽ thấy kết quả. Sau đó có thể trình bày lại như sau cho gọn. II. NHỊ THỨC NIU TƠN TÍNH TỔNG LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀMTrong một số bài hệ số đứng trước C (tức là đứng trước số tổ hợp ý) có liên quan đến chỉ số của C. Khi đó ta có thể nghĩ đến việc đạo hàm hai vế của khai triển. Đôi khi phải nhân hoặc chia cả 2 vế của khai triển với lũy thừa nào đó của x để ra được chỉ số mong muốn. Ví dụ 1: Lời giải Bài tập tự luyện: Tính hoặc thu gọn các tổng sau Trên đây là một số gợi ý dành cho các bạn trong nội dung tính các tổng liên quan đến nhị thức Newton. Chúc các bạn học giỏi và thành công! P/s: Trong đạo Phật có một triết lý hay mà các bạn có thể áp dụng vào việc học tập của mình: Giới sinh Định, Định sinh Tuệ. Tức là giữ gìn các việc hàng ngày của bản thân đúng chuẩn mực, không phóng túng, không sa đà vào những việc vô bổ như online Facebook quá nhiều, hay chơi game quá nhiều… Từ đó mà tâm các bạn yên tĩnh. Từ đó trí tuệ khác tự sinh ra. Với Cách tính tổng nhị thức Niu-tơn cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính tổng nhị thức Niu-tơn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11. A. Phương pháp giải & Ví dụPhương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. $\text{S =}\,\,\text{C}_{\text{6}}{\text{0}}\text{+C}_{\text{6}}{\text{1}}\text{+}…\text{+C}_{\text{6}}{\text{6}}={{2}{6}}=64$ [collapse] Câu 3: Khai triển ${{\left( x+y \right)}{5}}$rồi thay $x,y$ bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng $S=\,\,C_{5}{0}+C_{5}{1}+…+C_{5}{5}$ [A]. 32. [B]. 64. [C]. 1. [D]. 12. Hướng dẫn Chọn A Với $x=1,y=1$ ta có $\text{S=}\,\,\text{C}_{\text{5}}{\text{0}}\text{+C}_{\text{5}}{\text{1}}\text{+}…\text{+C}_{\text{5}}{\text{5}}={{(1+1)}{5}}=32$. [collapse] Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: $C_{n}{0}+2C_{n}{1}+4C_{n}{2}+…+{{2}{n}}C_{n}^{n}=243$ [A]. 4 [B]. 11 [C]. 12 [D]. 5 Hướng dẫn Chọn D Xét khai triển: ${{(1+x)}{n}}=C_{n}{0}+xC_{n}{1}+{{x}{2}}C_{n}{2}+…+{{x}{n}}C_{n}^{n}$ Cho $x=2$ ta có: $C_{n}{0}+2C_{n}{1}+4C_{n}{2}+…+{{2}{n}}C_{n}{n}={{3}{n}}$ Do vậy ta suy ra ${{3}{n}}=243={{3}{5}}\Rightarrow n=5$. [collapse] Câu 5: Khai triển ${{\left( x+y \right)}{5}}$rồi thay $x,y$ bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng $S=\,\,C_{5}{0}+C_{5}{1}+…+C_{5}{5}$ [A]. 32. [B]. 64. [C]. 1. [D]. 12. Hướng dẫn Chọn A Với $x=1,y=1$ ta có $\text{S=}\,\,\text{C}_{\text{5}}{\text{0}}\text{+C}_{\text{5}}{\text{1}}\text{+}…\text{+C}_{\text{5}}{\text{5}}={{(1+1)}{5}}=32$. [collapse] Câu 6: Khai triển ${{\left( 1+x+{{x}{2}}+{{x}{3}} \right)}{5}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}{2}}+…+{{a}_{15}}{{x}^{15}}$
[A]. ${{a}_{10}}=C_{5}{0}.+C_{5}{4}+C_{5}{4}C_{5}{3}$ [B]. ${{a}_{10}}=C_{5}{0}.C_{5}{5}+C_{5}{2}C_{5}{4}+C_{5}{4}C_{5}{3}$ [C]. ${{a}_{10}}=C_{5}{0}.C_{5}{5}+C_{5}{2}C_{5}{4}-C_{5}{4}C_{5}{3}$ [D]. ${{a}_{10}}=C_{5}{0}.C_{5}{5}-C_{5}{2}C_{5}{4}+C_{5}{4}C_{5}{3}$
[A]. 131 [B]. 147614 [C]. 0 [D]. 1 Hướng dẫn Đặt $f(x)={{(1+x+{{x}{2}}+{{x}{3}})}{5}}={{(1+x)}{5}}{{(1+{{x}{2}})}{5}}$
[collapse] Câu 7: Khai triển ${{\left( 1+2x+3{{x}{2}} \right)}{10}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}{2}}+…+{{a}_{20}}{{x}{20}}$
[A]. ${{a}_{4}}=C_{10}{0}{{.2}{4}}$ [B]. ${{a}_{4}}={{2}{4}}C_{10}{4}$ [C]. ${{a}_{4}}=C_{10}{0}C_{10}{4}$ [D]. ${{a}_{4}}=C_{10}{0}{{.2}{4}}C_{10}^{4}$
[A]. $S={{17}^{10}}$ [B]. $S={{15}^{10}}$ [C]. $S={{17}^{20}}$ [D]. $S={{7}^{10}}$ Hướng dẫn Đặt $f(x)={{(1+2x+3{{x}{2}})}{10}}=\sum\limits_{k=0}{10}{C_{10}{k}{{3}{k}}{{x}{2k}}{{(1+2x)}^{10-k}}}$ $=\sum\limits_{k=0}{10}{C_{10}{k}{{3}{k}}{{x}{2k}}\sum\limits_{i=0}{10-k}{C_{10-k}{i}{{2}{10-k-i}}{{x}{10-k-i}}}}$ $=\sum\limits_{k=0}{10}{\sum\limits_{i=0}{10-k}{C_{10}{k}C_{10-k}{i}{{3}{k}}{{2}{10-k-i}}{{x}^{10+k-i}}}}$
[collapse] Câu 8: Tính tổng sau: $S=\dfrac{1}{2}C_{n}{0}-\dfrac{1}{4}C_{n}{1}+\dfrac{1}{6}C_{n}{3}-\dfrac{1}{8}C_{n}{4}+…+\dfrac{{{(-1)}{n}}}{2(n+1)}C_{n}{n}$ [A]. $\dfrac{1}{2(n+1)}$ [B]. 1 [C]. 2 [D]. $\dfrac{1}{(n+1)}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có: $S=\dfrac{1}{2}\left( C_{n}{0}-\dfrac{1}{2}C_{n}{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}{2}-…+\dfrac{{{(-1)}{n}}}{n+1}C_{n}^{n} \right)$ Vì $\dfrac{{{(-1)}{k}}}{k+1}C_{n}{k}=\dfrac{{{(-1)}{k}}}{n+1}C_{n+1}{k+1}$ nên:$S=\dfrac{1}{2(n+1)}\sum\limits_{k=0}{n}{{{(-1)}{k}}C_{n+1}^{k+1}}$ $=\dfrac{-1}{2(n+1)}\left( \sum\limits_{k=0}{n+1}{{{(-1)}{k}}C_{n+1}{k}}-C_{n+1}{0} \right)=\dfrac{1}{2(n+1)}$. [collapse] Câu 9: Tính tổng sau: $S=C_{n}{1}{{3}{n-1}}+2C_{n}{2}{{3}{n-2}}+3C_{n}{3}{{3}{n-3}}+…+nC_{n}^{n}$ [A]. $n{{.4}^{n-1}}$ [B]. 0 [C]. 1 [D]. ${{4}^{n-1}}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có: $S={{3}{n}}\sum\limits_{k=1}{n}{kC_{n}{k}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}}$ Vì $kC_{n}{k}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}=n{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}C_{n-1}{k-1}$ $\forall k\ge 1$nên $S={{3}{n}}.n\sum\limits_{k=1}{n}{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}C_{n-1}{k-1}}={{3}{n-1}}.n\sum\limits_{k=0}{n-1}{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}C_{n-1}{k}}$$={{3}{n-1}}.n{{(1+\dfrac{1}{3})}{n-1}}=n{{.4}^{n-1}}$. [collapse] Câu 10: Tính các tổng sau: ${{S}_{1}}=C_{n}{0}+\dfrac{1}{2}C_{n}{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}{2}+…+\dfrac{1}{n+1}C_{n}{n}$ [A]. $\dfrac{{{2}^{n+1}}+1}{n+1}$ [B]. $\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}$ [C]. $\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}+1$ [D]. $\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}-1$ Hướng dẫn Chọn B Ta có: $\dfrac{1}{k+1}C_{n}^{k}=\dfrac{1}{k+1}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{1}{n+1}\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ (}n+1)-(k+1))!}$ $=\dfrac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$ (*) $\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}{n}{C_{n+1}{k+1}}=\dfrac{1}{n+1}\left( \sum\limits_{k=0}{n+1}{C_{n+1}{k}}-C_{n+1}{0} \right)=\dfrac{{{2}{n+1}}-1}{n+1}$. [collapse] Câu 11: Tính các tổng sau:${{S}_{2}}=C_{n}{1}+2C_{n}{2}+…+nC_{n}^{n}$ [A]. $2n{{.2}^{n-1}}$ [B]. $n{{.2}^{n+1}}$ [C]. $2n{{.2}^{n+1}}$ [D]. $n{{.2}^{n-1}}$ Hướng dẫn Chọn D Ta có: $kC_{n}^{k}=k.\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}$ $=n\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}=nC_{n-1}^{k-1}$, $\forall k\ge 1$ $\Rightarrow {{S}_{2}}=\sum\limits_{k=1}{n}{nC_{n-1}{k-1}}=n\sum\limits_{k=0}{n-1}{C_{n-1}{k}}=n{{.2}^{n-1}}$. [collapse] Câu 12: Tính các tổng sau:${{S}_{3}}=2.1.C_{n}{2}+3.2C_{n}{3}+4.3C_{n}{4}+…+n(n-1)C_{n}{n}$. [A]. $n(n-1){{2}^{n-2}}$ [B]. $n(n+2){{2}^{n-2}}$ [C]. $n(n-1){{2}^{n-3}}$ [D]. $n(n-1){{2}^{n+2}}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có $k(k-1)C_{n}{k}=\dfrac{n!}{(k-2)!(n-k)!}=n(n-1)C_{n-2}{k-2}$ $\Rightarrow {{S}_{3}}=n(n-1)\sum\limits_{k=2}{n}{C_{n-2}{k-2}}=n(n-1){{2}^{n-2}}$. [collapse] Câu 13: Tính tổng $S=C_{n}{0}+\dfrac{{{3}{2}}-1}{2}C_{n}{1}+…+\dfrac{{{3}{n+1}}-1}{n+1}C_{n}^{n}$ [A]. $S=\dfrac{{{4}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}$ [B]. $S=\dfrac{{{4}{n+1}}+{{2}{n+1}}}{n+1}-1$ [C]. $S=\dfrac{{{4}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}+1$ [D]. $S=\dfrac{{{4}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}-1$ Hướng dẫn Chọn D Ta có $S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}$, trong đó ${{S}_{1}}=C_{n}{0}+\dfrac{{{3}{2}}}{2}C_{n}{1}+\dfrac{{{3}{3}}}{3}C_{n}{2}+…+\dfrac{{{3}{n+1}}}{n+1}C_{n}^{n}$ ${{S}_{2}}=\dfrac{1}{2}C_{n}{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}{2}+…+\dfrac{1}{n+1}C_{n}^{n}$ Ta có ${{S}_{2}}=\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}-1$ Tính ${{S}_{1}}=?$ Ta có: $\dfrac{{{3}{k+1}}}{k+1}C_{n}{k}={{3}{k+1}}\dfrac{n!}{(k+1)!(n-k)!}$ $=\dfrac{{{3}{k+1}}}{n+1}\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n+1)-(k+1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ !}}$$=\dfrac{{{3}{k+1}}}{n+1}C_{n+1}{k+1}$ $\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}{n}{{{3}{k+1}}C_{n+2}{k+1}}-2C_{n}{0}$$=\dfrac{1}{n+1}\left( \sum\limits_{k=0}{n+1}{{{3}{k}}C_{n+1}{k}}-C_{n}{0} \right)-2C_{n}{0}$$=\dfrac{{{4}{n+1}}-1}{n+1}-2$. Vậy $S=\dfrac{{{4}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}-1$. [collapse] Câu 14: Tính tổng $S=C_{n}{0}+\dfrac{{{2}{2}}-1}{2}C_{n}{1}+…+\dfrac{{{2}{n+1}}-1}{n+1}C_{n}^{n}$ [A]. $S=\dfrac{{{3}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}$ [B]. $S=\dfrac{{{3}{n}}-{{2}{n+1}}}{n+1}$ [C]. $S=\dfrac{{{3}{n+1}}-{{2}{n}}}{n+1}$ [D]. $S=\dfrac{{{3}{n+1}}+{{2}{n+1}}}{n+1}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có: $S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}$ Trong đó ${{S}_{1}}=\sum\limits_{k=0}{n}{C_{n}{k}\dfrac{{{2}{k+1}}}{k+1}};\text{ }{{S}_{2}}=\sum\limits_{k=0}{n}{\dfrac{C_{n}{k}}{k+1}}=\dfrac{{{2}{n+1}}-1}{n+1}-1$ Mà $\dfrac{{{2}{k+1}}}{k+1}C_{n}{k}=\dfrac{{{2}{k+1}}}{n+1}C_{n+1}{k+1}$$\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{{{3}^{n+1}}-1}{n+1}-1$ Suy ra: $S=\dfrac{{{3}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}$. [collapse] Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : $C_{2n+1}{1}-2.2C_{2n+1}{2}+{{3.2}{2}}C_{2n+1}{3}-…+(2n+1){{2}{n}}C_{2n+1}{2n+1}=2005$ [A]. n=1001 [B]. n=1002 [C]. n=1114 [D]. n=102 Hướng dẫn Chọn B Đặt $S=\sum\limits_{k=1}{2n+1}{{{(-1)}{k-1}}.k{{.2}{k-1}}C_{2n+1}{k}}$ Ta có: ${{(-1)}{k-1}}.k{{.2}{k-1}}C_{2n+1}{k}=={{(-1)}{k-1}}.(2n+1){{.2}{k-1}}C_{2n}{k-1}$ Nên $S=(2n+1)(C_{2n}{0}-2C_{2n}{1}+{{2}{2}}C_{2n}{2}-…+{{2}{2n}}C_{2n}{2n})=2n+1$ Vậy $2n+1=2005\Leftrightarrow n=1002$. [collapse] Câu 16: Tính tổng${{1.3}{0}}{{.5}{n-1}}C_{n}{n-1}+{{2.3}{1}}{{.5}{n-2}}C_{n}{n-2}+…+n{{.3}{n-1}}{{5}{0}}C_{n}^{0}$ [A]. $n{{.8}^{n-1}}$ [B]. $(n+1){{.8}{n-1}}$C.$(n-1){{.8}{n}}$ [D]. $n{{.8}^{n}}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có: $VT=\sum\limits_{k=1}{n}{k{{.3}{k-1}}{{.5}{n-k}}C_{n}{n-k}}$ Mà $k{{.3}{k-1}}{{.5}{n-k}}C_{n}{n-k}=n{{.3}{k-1}}{{.5}{n-k}}.C_{n-1}{k-1}$ Suy ra: $VT=n({{3}{0}}{{.5}{n-1}}C_{n-1}{0}+{{3}{1}}{{.5}{n-2}}C_{n-1}{1}+…+{{3}{n-1}}{{5}{0}}C_{n-1}^{n-1})$ $=n{{(5+3)}{n-1}}=n{{.8}{n-1}}$ [collapse] Câu 17: Tính tổng $S=2.1C_{n}{2}+3.2C_{n}{3}+4.3C_{n}{4}+…+n(n-1)C_{n}{n}$ [A]. $n(n+1){{2}^{n-2}}$ [B]. $n(n-1){{2}^{n-2}}$ [C]. $n(n-1){{2}^{n}}$ [D]. $(n-1){{2}^{n-2}}$ Hướng dẫn Chọn B Ta có: $S=\sum\limits_{k=2}{n}{k(k-1)C_{n}{k}}$ Mà $k(k-1)C_{n}{k}=n(n-1)C_{n-2}{k-2}$ Suy ra $S=n(n-1)(C_{n-2}{0}+C_{n-2}{1}+C_{n-2}{2}+…+C_{n-2}{n-2})=n(n-1){{2}^{n-2}}$ [collapse] Câu 18: Tính tổng ${{\left( C_{n}{0} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{1} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{2} \right)}{2}}+…+{{\left( C_{n}{n} \right)}{2}}$ [A]. $C_{2n}^{n}$ [B]. $C_{2n}^{n-1}$ [C]. $2C_{2n}^{n}$ [D]. $C_{2n-1}^{n-1}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có:${{\left( x+1 \right)}{n}}{{\left( 1+x \right)}{n}}={{\left( x+1 \right)}^{2n}}$. Vế trái của hệ thức trên chính là: $\left( C_{n}{0}{{x}{n}}+C_{n}{1}{{x}{n-1}}+…+C_{n}{n} \right)\left( C_{n}{0}+C_{n}{1}x+…+C_{n}{n}{{x}^{n}} \right)$ Và ta thấy hệ số của ${{x}^{n}}$ trong vế trái là ${{\left( C_{n}{0} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{1} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{2} \right)}{2}}+…+{{\left( C_{n}{n} \right)}{2}}$ Còn hệ số của ${{x}{n}}$ trong vế phải ${{\left( x+1 \right)}{2n}}$ là $C_{2n}^{n}$ Do đó ${{\left( C_{n}{0} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{1} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{2} \right)}{2}}+…+{{\left( C_{n}{n} \right)}{2}}=C_{2n}^{n}$ [collapse] Câu 19: Tính tổng sau: ${{S}_{1}}={{5}{n}}C_{n}{0}+{{5}{n-1}}.3.C_{n}{n-1}+{{3}{2}}{{.5}{n-2}}C_{n}{n-2}+…+{{3}{n}}C_{n}^{0}$ [A]. ${{28}^{n}}$ [B]. $1+{{8}^{n}}$ [C]. ${{8}^{n-1}}$ [D]. ${{8}^{n}}$ Hướng dẫn Chọn D Ta có: ${{S}_{1}}={{(5+3)}{n}}={{8}{n}}$ [collapse] Câu 20: ${{S}_{2}}=C_{2011}{0}+{{2}{2}}C_{2011}{2}+…+{{2}{2010}}C_{2011}^{2010}$ [A]. $\dfrac{{{3}^{2011}}+1}{2}$ [B]. $\dfrac{{{3}^{211}}-1}{2}$ [C]. $\dfrac{{{3}^{2011}}+12}{2}$ [D]. $\dfrac{{{3}^{2011}}-1}{2}$ Hướng dẫn Chọn D Xét khai triển: ${{(1+x)}{2011}}=C_{2011}{0}+xC_{2011}{1}+{{x}{2}}C_{2011}{2}+…+{{x}{2010}}C_{2011}{2010}+{{x}{2011}}C_{2011}^{2011}$ Cho $x=2$ ta có được: ${{3}{2011}}=C_{2011}{0}+2.C_{2011}{1}+{{2}{2}}C_{2011}{2}+…+{{2}{2010}}C_{2011}{2010}+{{2}{2011}}C_{2011}^{2011}$ (1) Cho $x=-2$ ta có được: $-1=C_{2011}{0}-2.C_{2011}{1}+{{2}{2}}C_{2011}{2}-…+{{2}{2010}}C_{2011}{2010}-{{2}{2011}}C_{2011}{2011}$ (2) Lấy (1) + (2) ta có: $2\left( C_{2011}{0}+{{2}{2}}C_{2011}{2}+…+{{2}{2010}}C_{2011}{2010} \right)={{3}{2011}}-1$ Suy ra:${{S}_{2}}=C_{2011}{0}+{{2}{2}}C_{2011}{2}+…+{{2}{2010}}C_{2011}{2010}=\dfrac{{{3}{2011}}-1}{2}$. [collapse] Câu 21: Tính tổng ${{S}_{3}}=C_{n}{1}+2C_{n}{2}+…+nC_{n}^{n}$ [A]. $4n{{.2}^{n-1}}$ [B]. $n{{.2}^{n-1}}$ [C]. $3n{{.2}^{n-1}}$ [D]. $2n{{.2}^{n-1}}$ Hướng dẫn Chọn B Ta có: $kC_{n}{k}=k.\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}$ $=n\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}=nC_{n-1}{k-1}$, $\forall k\ge 1$ $\Rightarrow {{S}_{3}}=\sum\limits_{k=1}{n}{nC_{n-1}{k-1}}=n\sum\limits_{k=0}{n-1}{C_{n-1}{k}}=n{{.2}^{n-1}}$. |
