Bài tập về phương trình elip lớp 10 năm 2024
|
Học AZ là địa chỉ đáng tin cậy dành cho các bạn học sinh đang tìm kiếm tài liệu học tập chất lượng! Tài liệu Bài tập trắc nghiệm về đường elip lớp 10là một trong kho tàng tài liệu khổng lồ của hocaz.vn! Đừng chần chừ, hãy tải về tài liệu Bài tập trắc nghiệm về đường elip lớp 10 ngay! Show Đường elip là một trong những loại đường cong cơ bản trong toán học và hình học, được định nghĩa bởi tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ mỗi điểm đến hai điểm cố định (được gọi là hai châm) là hằng số. Hai châm này được ký hiệu là F1 và F2, và khoảng cách giữa chúng được gọi là 2a, trong đó a là nửa trục lớn của đường elip. Một cách toán học để mô tả một đường elip là bằng phương trình đường cong sau đây: Trong đó:
Đường elip có một số đặc điểm quan trọng:
Đường elip được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như hình học, vật lý, và kỹ thuật để mô hình hóa các quỹ tích, cấu trúc, hoặc hành vi của các hệ thống. Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016. Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038 Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ) Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm Email: [email protected] Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC Website: http://tailieumontoan.com Lý thuyết phương trình đường elip là phần rất quan trọng và là cơ sở để giải bài tập. Để nắm chắc nội dung phần này, các em cần nhớ công thức, cách giải và hơn hết là làm thật nhiều bài tập. Các em hãy cùng VUIHOC ôn tập lại kiến thức này để tự tin bước vào kỳ thi sắp tới nhé! 1. Định nghĩa phương trình đường elip lớp 10Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2. Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng $F_{1}M+F_{2}M=2a$ không đổi. Trong đó các điểm $F_{1},F_{2}$ gọi là tiêu điểm của elip. Khoảng cách $F_{1}F_{2}=2c$ gọi là tiêu cự của elip. 2. Phương trình chính tắc của đường elipCho elip có tiêu điểm $F_{1},F_{2}$ chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_{1}(-c;0)$ và $F_{2}(c;0)$. Khi đó người ta chứng minh được: $M\left ( x;y \right )\epsilon$ elip $\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (1) Trong đó: $b^{2}=a^{2}-c^{2}$ Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường elip. Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E)? Giải: Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a,b > 0). Ta có độ dài trục lớn bằng 12 nên 2a = 12 => a = 6 Ta có độ bé bằng 6 nên 2b = 6 => b = 3 Vậy phương trình của Elip là: $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$ Đăng ký ngay để nhận bộ tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc gia 3. Thành phần và hình dạng của elipVới elip (E) có phương trình (1): Nếu điểm M(x;y) thuộc (E) thì các điểm $M_{1}$(-x;y), $M_{2}$=(x;-y) cũng thuộc (E). Vậy (E) có: + Các trục đối xứng: Ox, Oy + Tâm đối xứng là gốc O Thay y = 0 vào (1) ta có $x=\pm a$, suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm $A_{1}$=(-a;0) và $A_{2}=(a;0)$. Tương tự thay x=0 vào (1) ta được y=b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm $B_{1}=(0;-a),B_{2}=(a;0)$. Các điểm $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}$ gọi là các đỉnh của elip. Trong đó đoạn thẳng $A_{1},A_{2}$ là trục lớn, đoạn thẳng $B_{1},B_{2}$ là trục nhỏ của elip. Ví dụ: Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ Giải: Vì phương trình đường elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $\left\{\begin{matrix}a^{2}=25\\ b^{2}=9\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=5\\ b=3\end{matrix}\right.$ $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4$ Vậy (E) có: - Trục lớn : $A_{1}A_{2}$ = 2a =10 - Trục nhỏ : $B_{1}B_{2}$ = 2b = 6 - Hai tiêu điểm: $F_{1}$(- 4;0), $F_{2}$(4;0) - Bốn đỉnh: $A_{1}$(- 5;0), $A_{2}$(5;0), $B_{1}$(0;– 3), $B_{2}$(0;3). 4. Các dạng bài tập về phương trình đường elipCâu 1: Cho Elip (E): $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ và điểm M nằm trên (E). Giả sử điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng bao nhiêu? Giải: Ta có $a^{2}=16,b^{2}=12$ nên $c^{2}=a^{2}-b^{2}=4$ $\Rightarrow a=4;c=2$ và hai tiêu điểm $F_{1}$(-2; 0); $F_{2}$(2;0) Điểm M thuộc (E) và $x_{M}=1\Rightarrow y_{M}\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$ Tâm sai của elip $e=\frac{c}{a}\Rightarrow e=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow MF_{1}=a+ex_{M}=4+0.5=4.5$ $MF_{2}=a-ex_{M}=4-0.5=3.5$ Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $2\sqrt{5}$. Giải: Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ với a>b>0 Tâm sai $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow c^{2}=\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$. Độ dài đường chéo hình chữ nhật $\sqrt{\left ( 2a \right ){2}+\left ( 2b \right ){2}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=5\Leftrightarrow b^{2}=5-a^{2}$ Khi đó: $a^{2}=b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow a^{2}=5-a^{2}+\frac{a^{2}}{3}\Leftrightarrow a^{2}=3\Rightarrow b^{2}=2$ Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là: $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn nắm chắc kiến thức 10 - 11 Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng elip (E) có hai tiêu điểm $F_{1},F_{2}$, với $F_{1}(-\sqrt{3};0)$ và có một điểm M thuộc (E) để tam giác F1MF2 vuông tại M và có S=1. Giải: Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ với a>b>0 Với $F_{1}(-\sqrt{3};0)$, suy ra $c=\sqrt{3}$ => $a^{2}-b^{2}-c^{2}=3$ hay $a^{2}=b^{2}+3$ (1) Gọi $M\left ( x_{0};y_{0} \right )$ $\Rightarrow\left\{\begin{matrix} \vec{MF_{1}}=\left ( -\sqrt{3}-x_{0};-y_{0}\right )\\ \vec{MF_{2}}=\left ( \sqrt{3} -x_{0};-y_{0}\right )\end{matrix}\right.$ Khi đó: $\widehat{F_{1}MF_{2}}=90^{\circ}$ $\Leftrightarrow \overline{MF_{1}}.\overline{MF_{2}}=0$ $\Leftrightarrow x_{0}{2}-3+y_{0}{2}=0$ $\Leftrightarrow x_{0}{2}+y_{0}{2}=3$ Ta có: $S_{F_{1}MF_{2}}=\frac{1}{2}d(M,Ox).F_{1}F_{2}=\frac{1}{2}\left | y_{0} \right |.2\sqrt{3}=\sqrt{3}\left | y_{0} \right |=1$ $\Leftrightarrow y_{0}{2}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow x_{0}{2}=\frac{8}{3}$ Mặt khác $M(x_{0};y_{0})\epsilon (E)$ $\Leftrightarrow \frac{x_{0}{2}}{a{2}}+\frac{y_{0}{2}}{b{2}}=1$ $\Leftrightarrow \frac{8}{3a^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}=1$ (2) Thay (1) vào (2) ta được: $\frac{8}{3(b^{2}+3)}+\frac{1}{3b^{2}}=1\Leftrightarrow 3b^{4}=3\Leftrightarrow b=1$ (do b>0) $\Rightarrow a^{2}=4$ Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}=8$. Biết (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. Hãy viết phương trình chính tắc elip (E). Giải: Ta có phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ - (E) có độ dài trục lớn bằng 8 nên suy ra 2a = 8 => a = 4. - (E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông => 4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Ta giả sử A là một giao điểm của (E) và (C) thuộc đường phân giác Δ: y = x. - Gọi $A(t;t)\epsilon \Delta $ (t > 0). Ta có: $A\epsilon(C)\Rightarrow t^{2}+t^{2}=8\Leftrightarrow t=2$ (vì t > 0) => A(2;2) - Mà $A\epsilon(E)\Rightarrow \frac{2^{2}}{4^{2}}+\frac{2^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow b^{2}=\frac{16}{3}$ Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{\frac{16}{3}}=1$ Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm $F_{1}(-\sqrt{3};0),F_{2}(\sqrt{3};0)$ và đi qua điểm $A(\sqrt{3};\frac{1}{2})$. Hãy lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M thuộc (E), hãy tính giá trị biểu thức: $P=MF_{1}{2}+MF_{2}{2}-3OM^{2}-MF_{1}MF_{2}$. Giải: - Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ với a>b>0 (E) có hai tiêu điểm $F_{1}(-\sqrt{3};0),F_{2}\left ( \sqrt{3};0\right )$ suy ra $c=\sqrt{3}$ - Khi đó a² - b² = c² = 3 ⇔ a² = b² +3 => (E): $\frac{x^{2}}{b^{2}+3}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ - Với $A\left ( \sqrt{3};\frac{1}{2}\right )\epsilon (E)$ ⇔ $\frac{3}{b^{2}+3}+\frac{1}{4b^{2}}=1$ ⇔ $4b^{2}-b^{2}-3=0\Leftrightarrow \left ( 4b^{2}+3\right )\left ( b^{2}-1 \right )=0$ $\Leftrightarrow b^{2}=1\Rightarrow a^{2}=4$ Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ $M(x_{0};y_{0})\epsilon (E)\Rightarrow\left\{\begin{matrix} MF_{1}=a+\frac{c}{a}x_{0};MF_{2}=a-\frac{c}{a}x_{0}\\OM^{2}=x_{0}{2}+y_{0}{2};\frac{x_{0}{2}}{4}+y_{0}{2}=1\end{matrix}\right.$ Khi đó: P = $\left ( a+\frac{c}{a}x_{0} \right ){2}+\left ( a-\frac{c}{a}x_{0} \right ){2}-3(x_{0}{2}+y_{0}{2})-(a+\frac{c}{a}x_{0})(a-\frac{c}{a}x_{0})$ \= $x^{2}+\frac{3c^{2}}{a^{2}}x_{0}{2}-3(x_{0}{2}+y_{0}^{2})$ \= $4+\frac{9}{4}x_{0}{2}-3(x_{0}{2}+y_{0}^{2})$ \= $4-3(\frac{x_{0}{2}}{4}+y_{0}{2})$ \= 4-3=1 Vậy P = 1 PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!! Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập về phương trình đường elip. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé! |
