Bài 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 phần bài tập bổ sung trang 54, 55 sbt toán 9 tập 2
\(\eqalign{& \Delta = {6^2} - 4.3\sqrt 5 .0 = 36 > 0 \cr& \sqrt \Delta = \sqrt {36} = 6 \cr& {x_1} = {{ - 6 + 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {0 \over {6\sqrt 5 }} = 0 \cr& {x_2} = {{ - 6 - 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {{ - 12} \over {6\sqrt 5 }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr} \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Bài 4.1 Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được: a)\(4{x^2} - 9 = 0\) b)\(5{x^2} + 20 = 0\) c)\(2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0\) d)\(3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0\) Phương pháp giải: Cách 1:Chuyển các số hạng tự do sang vế phải, nhận xét vế trái và vế phải của phương trình để giải. Chú ý: \({A^2} = B\,\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow |A| = \sqrt B \) Cách 2:Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\): +) Nếu \(\Delta > 0\)thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1}\)=\(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) +) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\). +) Nếu \(\Delta < 0\)thì phương trình vô nghiệm. Lời giải chi tiết: a)Cách 1: \(4{x^2} - 9 = 0 \) \(\Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \) \( \displaystyle \Leftrightarrow {x^2} = {9 \over 4} \) \(\displaystyle\Leftrightarrow x = \pm {3 \over 2} \) Phương trình có hai nghiệm là: \(\displaystyle {x_1} = {3 \over 2};{x_2} = - {3 \over 2}\) Cách 2: \(\eqalign{ Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau. b)Cách 1: \(5{x^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} = - 20\) Vế trái \(5{x^2} \ge 0\); vế phải \(-20 < 0\) Do đó không có giá trị nào của \(x\) để\(5{x^2} = - 20\) Phương trình vô nghiệm. Cách 2: \(\Delta = {0^2} - 4.5.20 = - 400 < 0.\)Phương trình vô nghiệm. Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau. c)Cách 1: \(2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0 \) \( \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 - \sqrt 3 \) \(\Leftrightarrow \displaystyle{x^2} = {{2 - \sqrt 3 } \over 2} \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over 2}} = \sqrt {{{4 - 2\sqrt 3 } \over 4}} \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left| x \right| = {{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \over 2} \)\(\,\displaystyle= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} } \over 2} \) \(\displaystyle\Leftrightarrow \left| x \right|= {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Phương trình có hai nghiệm là: \(\displaystyle {x_1} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}\) Cách 2: \( \Delta = {0^2} - 4.2\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) \)\(\,= 16 - 8\sqrt 3 \) \(= 4\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = 4{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} > 0 \) \( \sqrt \Delta = \sqrt {4{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \( \displaystyle{x_1} = {{0 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \) \( \displaystyle{x_2} = {{0 - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}}\)\(\,\displaystyle = {{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 2}\)\(\, \displaystyle= {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \) Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau. d)Cách 1: \(\eqalign{ Vì\(12 = \sqrt {144} ;\sqrt {144} < \sqrt {145}\) \(\displaystyle \Rightarrow {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\) Ta có vế trái\({x^2} \ge 0\), vế phải \(\displaystyle {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\) Phương trình vô nghiệm. Cách 2: \(\Delta = {0^2} - 4.3\left( { - 12 + \sqrt {145} } \right) \)\(\,= - 12\left( {\sqrt {145} - 12} \right)\) Vì\(\sqrt {145} - 12 > 0 \) \(\Rightarrow - 12\left( {\sqrt {145} - 12} \right) < 0\) \(\Rightarrow \Delta < 0.\) Phương trình vô nghiệm. Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau. Bài 4.2 Giải các phương trình sau bằng hai cách (giải phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được: a)\(5{x^2} - 3x = 0\) b)\(3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\) c)\(2{x^2} + 7x = 0\) d)\(2{x^2} - \sqrt 2 x = 0\) Phương pháp giải: Cách 1:Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích: \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Cách 2:Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\): +) Nếu \(\Delta > 0\)thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1}\)=\(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) +) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\). +) Nếu \(\Delta < 0\)thì phương trình vô nghiệm. Lời giải chi tiết: a)Cách 1: \( 5{x^2} - 3x = 0 \) \( \Leftrightarrow x\left( {5x - 3} \right) = 0 \) \( x = 0\) hoặc \(5x - 3 =0\) \( x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = {3 \over 5}.\) Vậy phương trình có hai nghiệm là:\({x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle {3 \over 5}\). Cách 2: \(\eqalign{ Vậy phương trình có hai nghiệm là:\({x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle{3 \over 5}\). Nhận xét:Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau. b)Cách 1: \( 3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 \) \( \Leftrightarrow 3x\left( {\sqrt 5 x + 2} \right) = 0 \) \( x = 0\) hoặc\(\sqrt 5 x + 2 = 0\) \( x = 0\) hoặc\(\displaystyle x = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\) Vậy phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\). Cách 2: \(\eqalign{ Vậy phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle{x_1} = 0;{x_2} = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\). Nhận xét:Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau. c)Cách 1: \(2{x^2} + 7x = 0 \) \( \Leftrightarrow x\left( {2x + 7} \right) = 0 \) \( x = 0\) hoặc \(2x + 7 = 0\) \( x = 0\) hoặc\(\displaystyle x = - {7 \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;\displaystyle {x_2} = - {7 \over 2}\) Cách 2: \(\eqalign{ Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;\displaystyle {x_2} = - {7 \over 2}\) Nhận xét:Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau. d)Cách 1: \( 2{x^2} - \sqrt 2 x = 0 \) \(\Leftrightarrow x\left( {2x - \sqrt 2 } \right) = 0 \) \( x = 0\) hoặc\(2x - \sqrt 2 = 0\) \( x = 0\) hoặc\(\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm \( x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\). Cách 2: \(\eqalign{ Vậy phương trình có hai nghiệm \( x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\). Nhận xét:Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau. Bài 4.3 Giải các phương trình: a)\({x^2} = 14 - 5x\) b)\(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2\) c)\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x\) d)\(\displaystyle {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} \)\(\,\displaystyle+ {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2}\) Phương pháp giải: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\): +) Nếu \(\Delta > 0\)thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1}\)=\(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) +) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\). +) Nếu \(\Delta < 0\)thì phương trình vô nghiệm. Lời giải chi tiết: a) \({x^2} = 14 - 5x \) \(\Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0\) \( \Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 14} \right) \)\(\,= 25 + 56 = 81 > 0 \) \( \sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9 \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \(\displaystyle {x_1} = {{ - 5 + 9} \over {2.1}} = {4 \over 2} = 2 \) \( \displaystyle {x_2} = {{ - 5 - 9} \over {2.1}} = {{ - 14} \over 2} = - 7 \) b) \(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2 = 0 \) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 2 = 0\) \(\Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \) \( \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = 1 - 4 = - 3 < 0 \) Phương trình vô nghiệm. c) \( {\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 2x - 3131 = 0 \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3127 = 0 \) \( \Delta = {6^2} - 4.1.\left( { - 3127} \right) \)\(\,= 36 + 12508 = 12544 > 0 \) \(\sqrt \Delta = \sqrt {12544} = 112 \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \( \displaystyle {x_1} = {{ - 6 + 112} \over {2.1}} = {{106} \over 2} = 53 \) \( \displaystyle {x_2} = {{ - 6 - 112} \over {2.1}} = - 59 \) d) \(\displaystyle {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} \) \(\displaystyle + {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2} \) \(\displaystyle \Leftrightarrow 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 10 = 2{\left( {3x - 1} \right)^2} \) \(+ 5x\left( {2x - 3} \right) \) \(\Leftrightarrow 2{x^2} + 12x + 18 + 10 = 18{x^2} - 12x \)\(\,+ 2 + 10{x^2} - 15x \) \( \Leftrightarrow 26{x^2} - 39x - 26 = 0 \) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \) \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 9 + 16\)\(\, = 25 > 0 \) \(\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \(\displaystyle {x_1} = {{3 + 5} \over {2.2}} = {8 \over 4} = 2 \) \(\displaystyle {x_2} = {{3 - 5} \over {2.2}} = - {1 \over 2} \) Bài 4.4 Chứng minh rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = x(a \ne 0)\)vô nghiệm thì phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\)\(\, + c = x\)cũng vô nghiệm. Phương pháp giải: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\)và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\): Phương trình vô nghiệmkhi và chỉ khi \(\Delta < 0\). Lời giải chi tiết: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = x\;(a \ne 0)\)vô nghiệm. \( \Leftrightarrowa{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c = 0\)vô nghiệm \(\eqalign{ Đặt\(f\left( x \right) =a{x^2} + bx + c\) Vì\(\displaystyle{\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2}\ge0\) và \(4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0\) Do đó \(\displaystyle{\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \) \(\Rightarrow f\left( x \right) - x\)luôn cùng dấu với \(a.\) - Nếu \(a > 0\) thì \( f\left( x \right) - x > 0 \) \(\Rightarrow f\left( x \right) > x\)với mọi \(x.\) Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x\)với mọi \(x.\) Vậy không có giá trị nào của \(x\) để\(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\) - Nếu \(a < 0\) thì \( f\left( x \right) - x < 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < x\)với mọi \(x\) Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x\)với mọi \(x.\) Vậy không có giá trị nào của \(x\) để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\) Vậy phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\)\(\, + c = x\)vô nghiệm.
|