Giải đề thi vào lớp 10 môn toán ptnk 2023 năm 2024
|
THCS.TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm học 2023 – 2024 trường Phổ Thông Năng Khiếu, thành phố Hồ Chí Minh. Trích dẫn Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 – 2024 trường PTNK – TP HCM: + Người ta tô màu mỗi ô của bảng hình vuông 4 × 4 bằng một trong hai màu đen hoặc trắng thỏa mãn các điều kiện sau: i. Số ô đen trên các hàng đều bằng nhau. ii. Số ô đen trên các cột đôi một khác nhau. a) Tính số ô đen trên mỗi hàng. b) Hai ô kề nhau trên một hàng hoặc một cột được gọi là “cặp tốt” nếu chúng được tô bằng hai màu khác nhau. Hỏi tổng số các “cặp tốt” tính theo tất cả các cột có thể lớn nhất là bao nhiêu? Hỏi tương tự cho các “cặp tốt” tính theo tất cả các hàng. + Cho m, n là các số nguyên không âm thỏa mãn m2 − n = 1. a) Đặt n2 – m = a. Chứng minh rằng a là số lẻ. b) Chứng minh rằng nếu a = 3.2^k + 1 với k là số nguyên dương thì k = 1. c) Chứng minh rằng a không thể là số chính phương. + Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với BC, CA, AB. Từ chân đường phân giác ngoài L của góc BAC (L thuộc BC), kẻ tiếp tuyến LH đến đường tròn (I) (H thuộc (I), H khác D). a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ALH đi qua tâm nội tiếp I. b) Chứng minh BAD = CAH. c) AH cắt lại (I) tại K. Gọi G là trọng tâm tam giác KEF và J là giao điểm của DG với EF. Chứng minh KJ vuông góc EF. d) Gọi S là trung điểm BC, KJ cắt lại (I) tại R. Chứng minh rằng EF, IR và AS đồng quy.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Bài 5. (3.5 điểm) a) Do 0 90 LAI LHI nên A, H, I, L thuộc một đường tròn. (1 điểm) b) Mà 0 90 LDI nên A, H, D, I, L thuộc một đường tròn. Khi đó: DAI HAI (do chắn hai cung bằng nhau). Mà BAI CAI nên BAD CAH . (1 điểm) c) Do FAD EAK nên tứ giác EFDK là hình thang cân. (0.25 điểm) Gọi T, N lần lượt là trung điểm của EF và DK. Ta có: 12 TJ NGTJ NK DK DK Mà TN EF nên NKJT là hình chữ nhật, do đó KJ EF . (0.5 điểm) d) Ta chứng minh bổ đề sau: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với BC, CA và AB. S là trung điểm BC. Khi đó AS, DI và EF đồng quy. Gọi P là giao điểm của EF và ID. Qua P kẻ đường thẳng song song BC cắt AB, AC lần lượt tại U, V. Khi đó, các tứ giác IPUF và IPEV nội tiếp nên IUP IFP IEP IVP . Suy ra tam giác IUV cân, nên P là trung điểm UV. Mà S là trung điểm BC, UV // BC nên A, S, P thẳng hàng. Vậy ba đường AS, DI và EF đồng quy. Trở lại bài toán, để ý rằng 0 90 DER nên D, I, R thẳng hàng. Theo bổ đề trên ta có DI, EF và AS đồng quy. Do đó IR, EF và AS đồng quy. (0.75 điểm) |
