Cách tìm cực trị hàm số toán cao cấp năm 2024
|
Với ${M_1}\left( {0;0} \right)$ thì ${A_1} = {{z''}_{xx}}\left( {{M_1}} \right) = 0;{B_1} = \,{{z''}_{xy}}\left( {{M_1}} \right) = 12;{C_1} = {{z''}_{yy}}\left( {{M_1}} \right) = 2$ $ \Rightarrow {\Delta _1} = B_1^2 - {A_1}{C_1} = 144 > 0$. Do đó ${M_1}$ không phải là điểm cực trị. Với ${M_2}\left( {24; - 144} \right)$ thì ${A_2} = {{z''}_{xx}}\left( {{M_2}} \right) = 144>0;{B_2} = \,{{z''}_{xy}}\left( {{M_2}} \right) = 12;{C_2} = {{z''}_{yy}}\left( {{M_2}} \right) = 2$ $ \Rightarrow {\Delta _2} = B_2^2 - {A_2}{C_2} = - 144 < 0$. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại ${M_2}\left( {24; - 144} \right)$ và $\min f\left( {x,y} \right) = f\left( {24; - 144} \right) = - 6911$. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với điều kiện Lập hàm Larrange: Giải hệ phương trình: Từ 2 phương trình đầu, ta rút ra , sau đó thế vào phương trình 3 ta tìm được: – Với – Với Điều kiện đủ: Cách 1: ta xét dấu của – Với : Ta có: Khi đó: Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện tại và giá trị cực tiểu z = -5. – Với : Ta có: Khi đó: Vậy hàm số có cực đại có điều kiện tại và giá trị cực đại z = 5. Cách 2: xác định dấu của định thức : – Với : Với Ta có: Vậy: Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện tại và giá trị cực tiểu z = -5. – Với : Với Ta có: Vậy: Vậy hàm số có cực đại có điều kiện tại và giá trị cực đại z = 5. Bài tập giải mẫu: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: , với Cách 1: Chuyển về hàm 1 biến. Từ (2) ta có: . Thế vào hàm số ta có: Ta có: Lập bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại , với Cách 2: Lập hàm Larrange: Xét Tọa độ điểm dừng của hàm Larrange là nghiệm hệ: Giải hệ phương trình ta có: Vậy tọa độ điểm dừng ứng với – Ta có: Cách 1: xét dấu : Ta có: , với dx, dy thỏa mãn pt: (vi phân của (2) tại điểm P) Khi đó: Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại P và Cách 2: Xét dấu Ta có: Vậy: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại P và Bài tập tự giải: Tìm cực trị có điều kiện 1. , với 2. với 3. với 4. với Trang: 1 2 |
