Giải bài tập toán 12 nguyên hàm trang 100 năm 2024
\(({e^{ - x}})'= {e^{ - x}}\left( { - 1} \right)= - {e^{ - x}}\) và \(( - {e^{ - x}})' = \left( { - 1} \right)( - {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}\)
\(\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left( {sinx} \right)' = 2sinxcosx = sin2x\)
\(({(1-\frac{4}{x})e^{x})}'\) = \(\frac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\frac{4}{x})e^{x}\) = \(\left (1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{2}} \right )e^{x}\) \= \((1-\frac{2}{x}){2}e{x}\) Bài 2 trang 100-101-SGK Giải tích 12 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
Giải
\(f(x) = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}\) = \(x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\) = \(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\) \(∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx\) = \(\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\) +C
; do đó nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F(x)= \frac{(\frac{2}{e}){x}}{ln\frac{2}{e}} + e{-x}+C\) =\(\frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 -1)}+\frac{1}{e^{x}}+C\)= \(\frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}(ln2-1)} + C\)
hoặc \(f(x) =\frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sin^{2}x}\) Do đó nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F(x)= -2cot2x + C\)
\(f(x) =sin5xcos3x = \frac{1}{2}(sin8x +sin2x)\). Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(F(x)\) = \(-\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{4}cos8x + cos2x) +C\)
vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là \(F(x) = tanx - x + C\)
\= \(\frac{1}{3}(ln\left | 1+x \right |)-ln\left | 1-2x \right |)+C\) \= \(\frac{1}{3}ln\left | \frac{1+x}{1-2x} \right | +C\). Bài 3 Trang 101- SGK Giải tích 12 Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
Giải
Suy ra \(\int(1-x){9}dx=-\frac{(1-x){10}}{10}+C\) Cách 2: \(\smallint {\left( {1 - x} \right)9}dx = - \smallint {\left( {1 - x} \right){9}}d\left( {1 - x} \right)=\) \(-\frac{(1-x)^{10}}{10} +C\)
Cách 2: \(\int x(1+x^{2}){\frac{3}{2}}dx\) = \(\frac{1}{2}\int (1+x{2})^{\frac{3}{2}}d(1+x^2{})\) \= \(\frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^{2}){\frac{5}{2}}+C\) = \(\frac{1}{5}.(1+x{2})^{\frac{5}{2}}+C\) c)\(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\) \(= -\frac{1}{4}.cos^{4}x + C\)
\=\(\frac{-1}{e^{x}+1} + C\). Bài 4 trang 101- SGK Toán Giải tích 12 Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
Giải
Đặt \(u= ln(1+x)\) \(dv= xdx\) \(\Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx\) , \(v=\frac{x^{2}-1}{2}\) Ta có: \(∫xln(1+x)dx = \frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)\)\(-\frac{1}{2}\int (x-1)dx)\) \(=\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C\)
Đặt \(u = ({x^2} + 2x - 1)\) và \(dv=e^xdx\) Suy ra \(du = (2x+2)dx\), \(v=e^x\) . Khi đó: \(\int {({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}dx} \) = \(({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}\) - \(\int {(2x + 2){e^x}dx} \) Đặt : \(u=2x+2\); \(dv={e^x}dx\) \(\Rightarrow du = 2dx ;v={e^x}\) Khi đó: \(\int {(2x + 2){e^x}dx} \)\(= {(2x + 2){e^x}}\)\(- 2\int {{e^x}dx} \)\(= {\rm{ }}{e^x}\left( {2x + 2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2{e^x} + C\) |