Đề bài
Cho phương trình
\[{x^2} + {y^2} + px + [p - 1]y = 0\][1]
Hỏi trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng?
a] [1] là phương trình của một đường tròn.
b] [1] là phương trình của một đường tròn đi qua gốc tọa độ.
c][1] là phương trình của một đường tròn có tâm \[J\left[ p; p-1\right]\]
d] [1] là phương trình của một đường tròn có tâm \[J\left[ { - {p \over 2}; - {{p - 1} \over 2}} \right]\]và bán kính \[R = {1 \over 2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \].
Lời giải chi tiết
Phương trình đường tròn có dạng: \[{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\], với điều kiện: \[{a^2} + {b^2} > c\].
Ta có:
\[\eqalign{
& 2a = p;\,\,2b = p - 1;\,\,c = 0 \cr
& \Rightarrow a = {p \over 2};\,\,b = {{p - 1} \over 2} \cr} \]
Ta có: \[{a^2} + {b^2} -c = \frac{{{p^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {p - 1} \right]}^2}}}{4} \] \[= \frac{{{p^2} + {p^2} - 2p + 1}}{4} \] \[= \frac{1}{4}\left[ {2{p^2} - 2p + 1} \right] > 0,\forall p\]
Do đó phương trình đã cho là phương trình đường tròn tâm \[J\left[ { - \frac{p}{2}; - \frac{{p - 1}}{2}} \right]\] bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \frac{1}{2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \]
Nên a, d đúng, c sai.
Ngoài ra, với x=0, y=0 thỏa mãn pt đường tròn nên b đúng.
Các mệnh đề đúng là: a], b], d].
Mệnh đề sai: c].