- LG a
- LG b
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
LG a
Chứng minh rằng với mọi điểm \[M\], ta luôn có
\[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} \cr&= {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr
&= {[\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} ]^2} + {[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} ]^2} + {[\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} ]^2} \cr
&= {\overrightarrow {GA} ^2} - 2\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GB} ^2} - 2\overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GC} ^2} - 2\overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GM} + {\overrightarrow {GM} ^2}\cr&= {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {GM} ^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} [\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ] \cr
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \]
LG b
Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\], trong đó \[k\] là một số cho trước.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng câu a], ta có
\[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\]
\[ \Leftrightarrow 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = {k^2}\]
\[\Leftrightarrow 3M{G^2} = {k^2} - [G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}]\]
\[ \Leftrightarrow M{G^2} = \frac{{{k^2} - [G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}]}}{3}\]
+] Nếu \[{k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\]thì tập hợp các điểm \[M\] là đường tròn tâm \[G\] bán kính \[\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - [G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}]} \right]} \].
+] Nếu \[{k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\]thì tập hợp các điểm \[M\] chỉ gồm một phần tử là \[G\].
+] Nếu \[{k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\]thì tập hợp điểm \[M\] là tập rỗng.