Đề bài
Cho bốn điểm bất kì \[A, B, C, D\]. Chứng minh rằng:
\[\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\].
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: Ba đường cao của một tam giác đồng quy.
Lời giải chi tiết
Ta có
\[\eqalign{
& \,\,\,\,\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {DA} [\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} ] + \overrightarrow {DB} [\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} ] + \overrightarrow {DC} [\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} ] \cr
& = \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DA} = 0 \cr} \]
Gọi \[D\] là giao điểm của hai đường cao \[AA', BB'\] của tam giác \[ABC\].
Ta có \[\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} = 0\,;\,\,\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} = 0\]
Mà\[\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\]
Từ đó suy ra \[\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\], do đó \[DC \bot AB\].
Vậy \[D\] nằm trên đường cao \[CC'\] của tam giác \[ABC\], tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.
Cách khác:
Ta có thể chứng minh đẳng thức tích vô hướng bằng cách khác như sau: